Составители:
35
ii
q
T
q
L
&&
∂
∂
=
∂
∂
,
iii
q
П
q
T
q
L
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
, ni ,,2,1 K
=
.
С помощью этих формул устанавливается связь между лагранжианом
L
,
кинетической
T
и потенциальной
П
энергиями.
Пример 2.1. Ещё одной простейшей моделью механической системы
являются колебания математического маятника в потенциальном поле сил
тяжести. Система представляет собой груз массы m , находящийся на кон-
це стержня длины
l
. Рассматриваемая система может совершать плоские
свободные колебания (рис. 2.2).
l
α
h
m
ν
Рис. 2.2. Модель колебаний математического маятника
Относительно изучаемой системы делаются следующие предположе-
ния. Шарнир считается идеально гладким (трение в нём отсутствует). К
тому же он неподвижен, т. е. энергия от него не поступает в систему
«стержень-груз». Следовательно, шарнир не способен совершать над сис-
темой какую-либо работу. Стержень невесом и абсолютно жёсткий. По-
скольку
геометрический размер груза пренебрежимо мал по сравнению с
длиной стержня
l
, груз можно заменить материальной точкой. Ускорение
свободного падения
g
постоянно, сопротивление воздуха исключено.
Требуется получить описание движения системы с помощью уравне-
ний Лагранжа.
С учётом сделанных предположений, можно считать, что положение
маятника в плоскости совершаемых колебаний определяется одной обоб-
щённой координатой, в качестве которой выбирается угол отклонения ма-
ятника от вертикали, т. е. )()(
t
t
q
α
=
. Тогда обобщённой скоростью можно
считать угловую скорость )()()(
t
t
t
q
ω
=
α
=
&
&
.
Кинетическая энергия системы, записанная через линейную скорость
ω=
l
v
, определяется выражением
2222
2
1
)(
2
1
2
1
qmllmmvT
&
=ω==
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
