Составители:
36
Потенциальная энергия системы, принимая во внимание, что откло-
нение маятника по вертикали относительно нижнего положения определя-
ется значением h , равна
)cos1()cos( qmg
l
l
l
m
g
mgh
П
−
=
α
−
== .
Тогда лагранжиан системы имеет вид
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=−= qggqlmlПTL cos
2
1
2
&
.
В результате дифференцирования
L
по обобщённым переменным
i
q
и
i
q
&
:
qgml
q
L
sin−=
∂
∂
;
qml
q
L
&
&
2
=
∂
∂
,
а также дифференцирования
qL
&
∂
∂
по переменной
t
qml
q
L
dt
d
&&
&
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
,
уравнение Лагранжа приобретает окончательный вид
0sin
2
=+ qgmlqml
&&
.
Уравнения Лагранжа выводятся из
вариационного принципа Гамиль-
тона
. Этот принцип формулируется следующим образом. Любая механи-
ческая консервативная система будет двигаться под действием потенци-
альных сил из любого практически возможного начального состояния, оп-
ределённого в момент времени
0
t , в конечное состояние, установленного
для момента времени
к
t таким образом, чтобы минимизировался интеграл
разности между кинетической и потенциальной энергиями, т. е.:
()
∫
→−
к
0
min
t
t
dtПT
.
Для механических систем, не подчиняющихся уравнениям Лагранжа,
применяется более общий принцип Гамильтона–Остроградского.
Пусть рассматривается поведение системы в )1(
+
n -мерном расши-
ренном пространстве обобщённых координат и времени
()
tqq
n
;,,
1
K . В
нём можно выделить начальную
0
c и конечную
к
c точки, зафиксировав
тем самым положения системы в моменты времени
0
t
и
к
t
(на рис. 2.3 по-
ведение системы рассматривается в 3-х мерном пространстве). При этом
обобщённые скорости
n
qq
&
K
&
,,
1
в моменты
0
t и
к
t не фиксируются.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
