Составители:
38
Среди возможных варьированных траекторий существует основная
(не варьированная) траектория (прямой путь), для которой 0=δα . Эта
траектория, отвечающая уравнениям Лагранжа, в вариационном исчисле-
нии называется экстремалью.
Совокупность траекторий из
0
c в
к
c образуют однопараметрическое
семейство траекторий (пучок траекторий) с параметром α . В точках
0
c
и
к
c
при изменении параметра
α
вариации
0
=
δ
i
q
.
Поскольку в общем случае )(
0
α
t , )(
к
α
t , вариации 0)(
0
=
αδt ,
0)(
к
=αδt
.
Величину
()
∫
=
к
0
,
t
t
dtLS qq
&
принято называть действием по Гамильтону на временном интервале
],[
к0
tt . Действие представляет собой функционал, который зависит от
движения системы на рассматриваемом интервале
],[
к0
tt
. На экстремали
действие
S
достигает своего минимального значения по сравнению с дру-
гими возможными траекториями, поэтому принцип Гамильтона ещё назы-
вают принципом наименьшего действия. Математически принцип Гамиль-
тона выражается через вариацию функционала:
0
=
δ
S
или
0)(
к
0
к
0
к
0
=δ=δ=−δ
∫∫∫
t
t
t
t
t
t
dtLdtLdtПT
.
Приращение лагранжиана
L
δ вследствие вариаций обобщённых координат
и обобщённых скоростей можно представить в виде
i
i
i
i
i
i
q
q
L
q
q
L
LL δ
∂
∂
+δ
∂
∂
=δ=δ
∑∑
&
&
&
),( qq
с граничными условиями 0
=
δ
i
q , определенными в моменты времени
0
tt =
и
к
tt =
.
Обе части этого соотношения интегрируются в пределах от
0
t до
к
t :
∫
∑
∫
∑
∫
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
=δ
к
0
к
0
к
0
t
t
i
i
i
t
t
i
i
i
t
t
dtq
q
L
dtq
q
L
dtL
&
&
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
