Составители:
39
Используя свойство интегрирования по частям для первого интеграла
в правой части, а также учитывая
dtqdq
ii
)(
δ
=
δ
&
и принятые граничные
условия, можно получить:
=δ
∂
∂
+δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−δ
∂
∂
=δ
∫
∑
∫
∑∑
∫
к
0
к
0
к
0
к
0
t
t
i
i
i
t
t
i
i
i
t
t
i
i
i
t
t
dtq
q
L
dtq
q
L
dt
d
q
q
L
dtL
&&
.0
к
0
=
∫
δ
∑
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
t
t
dt
i
q
i
i
q
L
dt
d
i
q
L
&
(2.12)
Поскольку вариации
i
qδ не равны тождественно нулю, соотношение (2.12)
удовлетворяется только тогда, когда выражения, заключённые в квадрат-
ные скобки, равны нулю, что и приводит к уравнениям Лагранжа (2.11).
Строгий и подробный вывод уравнений Лагранжа для нестационар-
ных систем можно найти, например, в [8].
Для ряда сложных механических систем вариационные принципы,
рассмотренные выше, оказываются единственно возможными
при по-
строении их моделей. Например, модели для механических робототехни-
ческих устройств, состоящих из большого числа связанных между собой
элементов, представляют собой системы уравнений, получаемые по еди-
ной методике с помощью вариационных принципов.
Принцип Гамильтона также распространяется и на немеханические
системы. В качестве примера можно рассмотреть колебательный электри-
ческий контур,
включающий конденсатор с ёмкостью
к
C и катушку с ин-
дуктивностью
к
L (рис. 2.4). Активное сопротивление проводников и поте-
ри энергии на излучение электромагнитных волн не учитываются. В на-
чальный момент времени цепь разомкнута, электрический заряд сосредо-
точен на обкладках конденсатора. В результате замыкания цепи конденса-
тор разряжается и по ней будет протекать ток i .
к
L
к
C
i
Рис. 2.4. Модель электрического колебательного контура
Для данной электрической системы уместно использовать электроме-
ханическую аналогию, которая состоит в следующем [9]. Обобщённой ме-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
