Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

41
Пусть функция заряда )(
э
tq отвечает основной траектории – экстре-
мали. Возможные траектории на интервале ],[
к0
tt можно обозначить )(
t
q .
Тогда вариация действия по Гамильтону
∫∫∫
δ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−δ=δ=δ
к
0
к
0
к
0
)(
2
1
2
1
2
к
2
к
t
t
t
t
t
t
dtqLdtq
C
qLdtLS
&
.
Поскольку
qqqqqq
&&&
δ
+
=δ
+
=
ээ
, , подынтегральное выражение записыва-
ется как
=−=δ )()()(
э
qLqLqL
()
(
)
=+−δ+δ+−δ+δ+=
2
э
к
2
эк
2
э
2
э
к
2
э
2
эк
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
q
C
qLqqqq
C
qqqqL
&&&&&
2
к
2
кэ
к
эк
2
1
2
11
q
C
qLqq
C
qqL δ−δ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ−δ=
&&&
.
Пренебрегая членами второго порядка малости
2
q
&
δ ,
2
qδ , можно получить
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ−δ=δ
к
0
э
к
эк
1
t
t
dtqq
C
qqLS
&&
.
С учётом того, что
dtqdq δ=δ
&
, производится интегрирование по частям
∫∫
δ−δ−δ=δ
к
0
к
0
к
0
э
к
экэк
1
t
t
t
t
t
t
dtqq
C
dtqqLqqLS
&&&
.
Так как
0)()(
к0
=δ=δ tqtq , окончательное выражение для
S
δ имеет вид
0
1
к
0
э
к
эк
=δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=δ
∫
t
t
dtqq
C
qLS
&&
.
Отсюда, при исключении индекса «э» для заряда q , вытекает уравнение
модели колебаний в электрическом контуре без потерь
0
1
к
к
=+ q
C
qL
&&
.
Для систем с потерями (диссипативные системы) уравнения Ла-
гранжа приобретают вид:
ni
q
R
q
L
q
L
dt
d
iii
,,2,1,0 K
&&
==
∂
∂
+
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
, (2.13)

Страницы