Моделирование систем и комплексов. Душин С.Е - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

52
Уравнение (2.17) можно продифференцировать по координате
i
q :
i
n
n
q
i
i
i
q
i
q
i
q
i
q
i
p
q
q
q
T
q
q
q
T
q
T
q
q
q
T
q
q
q
T
q
T
∂
∂
∂
∂
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
&
&
K
&
&
K
&
&
&
&
&&&&&
2
2
1
1
.
С учётом выражения (2.16) последнее соотношение можно представить как
i
n
n
i
i
i
i
q
iii
p
q
q
p
q
q
p
q
T
q
q
p
q
q
p
q
T
∂
∂
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
&
K
&
K
&&
&
2
2
1
1
. (2.18)
Кинетическая энергия для стационарной системы выражается через
обобщённые скорости:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
n
q
n
qq
q
q
T
q
q
T
q
q
T
qT
&
&
K
&
&
&
&
&&&
&
2
2
1
1
2
1
.
Тогда справедливо равенство
qp
&
&
K
&&
&
,2
2211
=
+
+
+=
nnq
qpqpqpT
, (2.19)
где
qp
&
, – скалярное произведение векторов p и q
&
.
Выражение (2.19) получается при использовании
теоремы Эйлера об
однородных функциях
: если ),,(
1 nq
qqT
&
K
&
&
– непрерывно дифференцируе-
мая однородная функция степени
k (здесь 2
=
k , поскольку
q
T
&
– квадра-
тичная форма), то
q
i
i
q
i
kT
q
T
q
&
&
&
&
=
∂
∂
∑
.
С учётом равенства (2.17) выражение (2.19) можно записать
qp
&
, 2
=
p
T . (2.20)
Частная производная по
i
q для (2.20) определяется уравнением
i
n
n
iii
p
q
q
p
q
q
p
q
q
p
q
T
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
&
K
&&
2
2
1
1
2 . (2.21)
В результате при вычитании из уравнения (2.20) уравнение (2.18) получа-
ется
i
q
i
p
q
T
q
T
∂
∂
−=
∂
∂
&
. (2.22)
Частная производная по
i
p для (2.17) определяется уравнением

Страницы