Составители:
54
i
p
i
p
T
p
H
∂
∂
=
∂
∂
. (2.30)
Полученные формулы устанавливают связь между гамильтонианом
H
и
энергиями
T
и
П
в дифференциальной форме.
При подстановках (2.29) в (2.26), а (2.30) в (2.27), получается система
уравнений:
(
)
i
i
q
H
dt
dp
∂
∂
−=
qp,
; (2.31)
(
)
ni
p
H
dt
dq
i
i
,,2,1,
,
K=
∂
∂
=
qp
. (2.32)
Система уравнений (2.31) и (2.32) получила название
канонических
уравнений Гамильтона
.
Для консервативной системы гамильтониан
H
не зависит от времени.
Производная от
H
по времени
∑
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
n
i
i
i
i
i
dt
dq
q
H
dt
dp
p
H
dt
dH
1
(2.33)
равна нулю при подстановке в неё выражений (2.31) и (2.32), если
H
не
зависит от времени явно. Поэтому любой
гамильтониан, удовлетворяю-
щий каноническим уравнениям
(2.31), (2.32), является инвариантом дви-
жения
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⇒=
const0 H
dt
dH
. Для консервативной системы полное изме-
нение
H
во времени равно нулю. Следовательно, для консервативной
системы гамильтониан
H
является её первым интегралом. Подробнее о
первом интеграле излагается, например в [12, 13].
Для тех систем, у которых гамильтониан может зависеть явно от вре-
мени, изменение
H
с течением времени за счёт изменений
i
p и
i
q по-
прежнему равно нулю, однако полное изменение
dtdH будет определять-
ся частной производной
tH ∂∂ .
2.5. Принцип динамического сжатия-расширения
фазового пространства
Поведение любой динамической (не только механической) системы
подчиняется
принципу сжатия-расширения фазового пространства. Этот
принцип заключается в следующем.
Из найденных уравнений (2.31), (2.32) следует, что
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
