Составители:
78
дается на две «независимые» части: устойчивую с отрицательной и неус-
тойчивую с положительной обратными связями.
2. Состояние равновесия
δβ=
р
2
x , γα=
р
2
y . Корни характеристиче-
ского уравнения мнимые и равны
αβ±= js
2,1
.
Состоянию равновесия соответствует особая точка типа «центр». Вблизи
этой особой точки фазовые траектории имеют вид замкнутых траекторий –
эллипсов. При этом собственные обратные связи 0
2211
=
=
kk , так что
структура линеаризованной модели представляет собой замкнутый отри-
цательной обратной связью контур, включающий два интегратора.
Динамика численности популяций исследуемой модели «хищник-
жертва» в виде фазового портрета приведена на рис. 2.21.
065
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
y
x
Рис. 2.21. Фазовый портрет модели «хищник-жертва»
Следует отметить, что рассматриваемая модель (точнее, её положение
равновесия) не является асимптотически устойчивой по А.М. Ляпунову:
при скачкообразном изменении числа особей одной из популяций (напри-
мер, вследствие миграции хищников, деятельности человека или иных
причин, не учтённых в модели), колебания изменят свой характер. При
этом система перейдёт с одной замкнутой
фазовой траектории на другую.
Особая точка типа «центр» не грубая по определению А.А. Андронова и
Л.С. Понтрягина.
Пример 2.8. Модель химической кинетики (модель Лотки).
В 1910 году А.Д. Лотка (Lotka) исследовал последовательность хими-
ческих реакций вида
Z
Y
XO
c
cc
⎯
→
⎯
⎯
→
⎯
⎯
→
⎯
3
21
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
