Составители:
91
зано теорией. Примером является метод Ньютона (см. 3.3), который неред-
ко сходится достаточно быстро, хотя доказательства его сходимости полу-
чены только при дополнительных условиях, налагаемых на СНКУ, и хо-
рошем начальном приближении.
Для многих одношаговых итерационных методов, когда нахождение
1+k
x по известному вектору
k
x производится за один шаг, т. е. в пределах
одной итерации отсутствуют дополнительные шаги вычислений, поиск
решения (3.2) осуществляется по формуле
,,2,1,0,)(
1
1
1
K==Φ+
τ
−
+
+
+
k
k
k
kk
k
0x
xx
B (3.6) (3.6)
где
k – номер шага (итерации);
0
x – заданный вектор начального прибли-
жения;
()
т
1 nkkk
xx K=x – вектор приближения на k -м шаге;
1+
τ
k
– чи-
словой параметр;
1+k
B
– числовая матрица размера nn
×
, имеющая обрат-
ную. Формула (3.6) является
канонической (единообразной) формой записи
итерационного метода
[18].
Для нахождения
1+k
x по известному приближению
k
x из уравнения
(3.6) необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений
),(
11 kkk
xGxB
=
+
+
где )()(
11 kkkkk
xxBxG Φτ−=
++
.
Итерационный метод (3.6) называется
явным, если для всех значений
K,2,1,0=k матрица EB =
+1k
(E – единичная матрица) и неявным – в
противном случае. Итерационный метод (3.6) называется
стационарным,
если B и
τ не зависят от номера итерации k .
3.3. Примеры итерационных методов
Метод релаксации (метод простой итерации). В данном методе
полагается EB
=
+1k
,
τ
=τ
+1k
, следовательно, это явный стационарный
итерационный метод
, который можно записать как
),(
1 kk
S xx
=
+
где итерационный оператор принимает вид )()( xxx
Φ
τ
−
=
S
.
Метод сходится к решению
∗
x , если 1
)(
<
∂
∂
∗
x
xS
, причём сходимость
линейная. В данном случае
)()( xExx
Φ
′
τ
−
=
∂
∂S и
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
