Составители:
97
.)(
т
1111
+++
=
knkk
xx Kx
Тогда окончательно итерационный метод Ньютона для (3.1) определяется
системой уравнений
()
ni
x
xx
ki
n
j
j
ki
jkkj
,1,0)(
)(
1
1
==ϕ+
∂
∂ϕ
−
∑
=
+
x
x
, т (3.9) (3.9)
из которой последовательно, начиная с заданного
т
0100
)(
n
xx K=x , нахо-
дятся векторы
k
x , K,2,1=k .
Итерационную процедуру (3.9) можно записать в векторной форме
,,2,1,0,)())((
1
K
=
=
Φ+−Φ
′
+
k
kkkk
0xxxx
(3.10) (3.10)
где
xxx ∂Φ∂=Φ
′
)()(
kk
– матрица Якоби.
Итерационный оператор )(
⋅
S
приобретает вид
[
]
).()()(
1
xxxx ΦΦ
′
−=
−
S
Формула (3.10) представляется в каноническом виде (3.6), если при-
нять ),(
1 kk
xB Φ
′
=
+
1
1
=τ
+k
. Для реализации метода необходимо сущест-
вование обратных матриц
[]
1
)(
−
Φ
′
k
x .
Метод характеризуется квадратичной сходимостью, если начальное
приближение выбрано достаточно близко к равновесному состоянию.
Для скалярного уравнения 0)(
=
ϕ
x
метод Ньютона имеет простую и
наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 3.4, а).
Расчётная форму-
ла записывается в виде
[
]
)()()(
1
1
kkkkk
xxxxSx ϕϕ
′
−==
−
+
,
причём 0)( ≠ϕ
′
k
x . Для получения
1
+
k
x необходимо найти абсциссу точки
пересечения с осью
x
касательной кривой )(
x
y
ϕ
=
в точке
()
)(,
kk
xx ϕ .
x
1
x
2
x
y
*
x
0
x
y
x
*
x
,...2,0
x
,...3,1
x
а б
Рис. 3.4. Геометрическая интерпретация метода Ньютона:
а – сходящийся процесс; б – зацикливание
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
