Составители:
98
При использовании метода Ньютона возможна ситуация, когда
0)( =ϕ
′
k
x . В этом случае необходимо проверить, является ли
k
x приемле-
мым приближением к
∗
x
и выполнение
0)(
≈
ϕ
k
x
, а также, какова крат-
ность корня
∗
x
? Пусть функция )(
x
ϕ
и её производные )(,),(
)(
xx
q
ϕϕ
′
K
определены и непрерывны на интервале в окрестности точки
∗
=
x
x
. Гово-
рят, что уравнение 0)( =ϕ
x
имеет корень порядка q в точке
∗
=
x
x
тогда и
только тогда, когда
.0)(,0)(,,0)(,0)(
)()1(
≠ϕ=ϕ=ϕ
′
=ϕ
∗
∗
−
∗∗
xxxx
qq
K
При 1=q имеет место простой корень, при 1>q – кратный корень.
В том случае, если уравнение 0)(
=
ϕ
x
имеет кратный корень при
∗
=
x
x
, функцию )(
x
ϕ
следует представить как
)()()( xxxx
q
χ−=ϕ
∗
,
где )(
x
χ – непрерывная функция, причём 0)( ≠χ
∗
x . Определение других
возможных корней с помощью метода Ньютона уже производится для
уравнения 0)( =χ
x
.
Основной недостаток метода состоит в повторных вычислениях мат-
рицы Якоби
xx ∂Φ∂ )( . При этом требуется на каждом итерационном шаге
производить n вычислений функций )(
⋅
ϕ
i
и
2
n вычислений функций
ji
x∂⋅∂ϕ )(, т. е. всего выполнить nn
+
2
вычислений.
При больших порядках n и сложных векторных функциях )(
xΦ по-
лучение аналитических выражений элементов матрицы Якоби может быть
затруднено, поэтому обычно на практике применяют конечно-разностные
приближения вида
[
]
,),,,,,,(
),,,,,,(
2
1
)(
111
111
njjji
njjji
j
i
xxxxx
xxxxx
x
KK
KK
+−
+−
Δ−ϕ−
−Δ+ϕ
Δ
≈
∂
∂ϕ
x
где Δ – шаг
дифференцирования. В приведённом соотношении использо-
вано численное дифференцирование функции с применением формулы цен-
тральной разности.
Другим недостатком метода Ньютона является необходимость реше-
ния на каждом шаге системы линейных алгебраических уравнений.
Пример 3.2. Рассматривается система из примера 3.1, статический
режим которой описывается уравнением
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
