Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования. Дворецкий С.И - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Одним из таких способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с по-
мощью сплайн-функций (сплайнов). Пусть на
[
]
xx, задана непрерывная функция f (x). Введем сетку
xxxxxx
nn
=<<<<=
−120
... и обозначим njxfjy
j
,0);()( == .
Сплайном, соответствующим функции f (x) и данным узлам
{
}
nj
j
j
x
=
=
0
, называется функция S
p
(x),
удовлетворяющая следующим условиям:
а) на каждом сегменте
njxx
jj
...,,2,1,],[
1
=
−
, функция S
р
(x) является многочленом третьей степени;
б) функция S
р
(x), а также ее первая и вторая производные непрерывны на
[]
xx, ;
в) njjyxfxS
jjp
,0),()()( === .
Сплайн, определяемый условиями а) – в) называется также интерполяционным кубическим сплай-
ном.
На каждом из отрезков
njxx
jj
,...,3,2],,[
1
=
−
, будем искать функцию )()( xSxS
j
pp
= в виде многочлена
третьей степени
,,1,,)(
6
)(
2
)()(
1
32
njxxxxx
d
xx
c
xxbaxS
jjj
j
j
j
jjjpj
=≤≤−+−+−+=
−
где
iiii
dcba ,,, – коэффициенты, подлежащие определению.
Вычислим производные сплайна
)(xS
j
p
:
jpjjjjpjj
j
jjjpj
dxSxxdcxSxx
d
xxcbxS =
′′′
−+=
′′
−+−+=
′
)();()(;)(
2
)()(
2
.
Следовательно, имеем:
).();();();(
jpjjjpjjjpjjj
j
pj
xSdxScxSbxSa
′
′
′
=
′
′
=
′
=
=
Из условий интерполирования njxfxS
jjp
,0),()( == получаем, что .,0),( njxfa
jj
== Далее требование
непрерывности функции )(xS
p
приводит к условиям ....,,3,2),()(
111
njxSxS
jpjjpj
=
=
−−−
Из условия непрерывности сплайна на всем отрезке
[
]
xx, интерполирования, получаем при j = 1, ...,
n уравнения
.)(
6
)(
2
)(
3
1
2
111 jj
j
jj
j
jjjjj
xx
d
xx
c
xxbaa −+−+−+=
−−−−
Перепишем эти уравнения с учетом обозначения
1−
−
=
jjj
xxh :
)1()()()(
62
1
32
−−=−=+−
−
jyjyxfxfd
h
c
h
bh
jjj
j
j
j
jj
. (2.1)
Условия непрерывности первой производной сплайна S
р
(x):
njxSxS
jpjjpj
...,,3,2);()(
1
=
′
=
′
−
приводят к уравнениям
njbbh
d
hc
jjj
j
jj
...,,3,2;
2
1
2
=−=−
−
. (2.2)
Из условия непрерывности второй производной получаем уравнения

Страницы