ВУЗ:
Составители:
Пример. Построим наилучшее среднеквадратичное приближение для случая m = 1, n = 2, когда за-
даны
)()( jyxf
j
=
, j = 0, 1, 2. Обозначим h
0
= x
1
– x
0
, h
1
= x
2
– x
1
и будем искать обобщенный многочлен
)( xϕ в виде )()(
110
xxccx −+=ϕ .
Тогда для
)()()( xfxxr −ϕ=
получим, что ),,(
10
2
ccФr =
где
2
110
2
0
2
01010
))2(())1(())0((),( yhccycyhccccФ −++−+−−=
.
Коэффициенты
10
, сс определяются из условия
),(min
10
,
10
ccФ
cc
. (2.5)
Метод определения коэффициентов обобщенного многочлена из условия (2.5) называют методом
наименьших квадратов.
Точку минимума
),(
10
ccФ найдем из условия (в данном случае необходимого и достаточного)
0
10
=
′
=
′
сс
ФФ
, т.е.
0;0
10
=
∂
∂
=
∂
∂
c
Ф
c
Ф
,
которое приводит к системе линейных алгебраических уравнений:
).0()2()()(
),2()1()0()(3
011
2
1
2
0001
1010
yhyhchhchh
yyychhc
−=++−
++=−+
Отсюда получим:
,
)0()1(
)1(
)1()2(
),2()1()1()0(
01
1
22000
h
yy
h
yy
c
yyyc
−
β−+
−
β=
α+α−α−+α=
(2.6)
где
.
)(2
)2(
,
)(2
)(
,
)(2
)(
01
2
1
2
0
011
01
2
1
2
0
100
2
01
2
1
2
0
101
0
hhhh
hhh
hhhh
hhh
hhhh
hhh
++
+
=β
++
+
=α
++
+
=α
Если hhh ==
10
, то
h
yy
cyyyc
2
)0()2(
)),2()1()0((
3
1
10
−
=++=
. (2.7)
Погрешность полученного приближения на равномерной сетке имеет второй порядок по h, т.е.
)(
6
2
ξ
′′
=ϕ− f
h
y
, где ),(
20
xx∈ξ .
Сглаживание сеточных функций методом "скользящего среднего".
Пусть имеется таблица значений njjyxf
j
,0),()( == , полученных путем измерения некоторой физи-
ческой величины или с помощью численных расчетов. Может оказаться, что )(xf сильно меняется на
отдельных участках. В этом случае иногда целесообразно применить процедуру сглаживания, т.е. при-
ближенно заменить )(xf другой, более гладкой функцией )( x
ϕ
.
Для построения сглаженных функций можно воспользоваться среднеквадратичными приближения-
ми. Согласно (2.7) получаем, что многочлен
)(
)(
x
j
ϕ
наилучшего среднеквадратичного приближения, по-
строенный по значениям )1(),(),1( +
−
jyjyjy , имеет вид:
)(
2
)1()1(
3
)1()()1(
)(
)(
j
j
xx
h
jyjyjyjyjy
x −
−−+
+
+++−
=ϕ
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
