Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования. Дворецкий С.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

njcchd
jjjj
...,,3,2;
1
=−=
−
. (2.3)
Объединяя (2.1) – (2.3), получаем систему 3n – 2 уравнений относительно 3n неизвестных
njdcb
jjj
...,,2,1,,, =
. Два недостающих уравнения получают, задавая граничные условия для S
р
(x). Пред-
положим, что функция f(x) удовлетворяет условиям 0)()( =
′
′
=
′
′
xfxf . Отсюда получаем
0)(,0)(
01
1
=
′′
=
′′
xSxS
n
pp
, т.е. .0,0
111
==−
n
chdc
Таким образом, приходим после некоторых преобразований к замкнутой системе для определения
коэффициентов кубического сплайна:
.0,1...,,2,1
;
)1()()()1(
6)(2
0
1
1111
==−=
−−
+
−+
=+++
+
+++−
n
jj
jjjjjjj
ccnj
h
jyjy
h
jyjy
chchhch
(2.4)
В силу диагонального преобладания система (2.4) имеет единственное решение. Так как матрица
системы трехдиагональная, решение легко найти методом прогонки. По найденным коэффициентам
j
c
определяются коэффициенты
jj
db ,
с помощью явных формул:
....,,2,1,
)1()(
62
,
2
1
nj
h
jyjy
d
h
c
h
b
h
cc
d
j
j
j
j
j
j
j
jj
j
=
−−
+−=
−
=
−
Заметим, что можно рассматривать и другие граничные условия.
Наилучшее приближение функции, заданной таблично (аппроксимация).
Пусть значения табличной функции
)()( jyxf
j
=
и приближающих функций mix
i
...,,1,0),( =ϕ известны в
точках
[]
njxxx
j
...,,1,0,, =∈ . Если n > m, то задача интерполирования становится переопределенной.
В этом случае имеем задачу о наилучшем приближении. Введем обобщенный многочлен
)(...)()()(
1100
xcxcxcx
mm
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ
=ϕ
и будем рассматривать его значения в узлах
j
x , т.е.
....,,1,0),(...)()()(
1100
njxcxcxcx
jmmjjj
=
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ=
ϕ
Образуем разности
njjyxr
jj
...,,1,0),()(
=
−
ϕ
=
, характеризующие отклонение в узлах x
j
экспе-
риментальных данных y(j) от расчетного значения, полученного с помощью обобщенного многочлена
)(
j
xϕ . Для вектора погрешностей
T
n
rrrr )...,,,(
10
= можно ввести ту или иную норму, например:
∑∑
==
−ϕ==
n
j
n
j
jj
E
jyxrr
00
212212
))()((()(
или
)()(maxmax
00
jyxrr
j
nj
j
nj
C
−ϕ==
≤≤≤≤
.
Задача о наилучшем приближении экспериментальных данных y(j) состоит в нахождении коэффициен-
тов
m
ccc ,...,,
10
, минимизирующих норму вектора r. В зависимости от выбора нормы получим различ-
ные задачи. Так норме
E
r соответствует задача о наилучшем среднеквадратичном приближении, а
норме
C
r – задача о наилучшем равномерном приближении экспериментальных данных.

Страницы