Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования. Дворецкий С.И - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)1()1(4)(6)1(4)2()(
cрcрcрcрcрcр
4
+++−+−−−=∆ jyjyjyjyjyjy
.
Значения )(),1(),2(),1(
cрcрcрcр
nynyyy
−
не могут быть сглажены по формуле (2.9) и для их обработки сле-
дует применять другие зависимости.
Метод наименьших квадратов и регуляризация.
Решение многомерных задач часто сводится к решению следующих задач. В некоторой области s-
мерного пространства X заданы точки x
1
, x
2
, ..., x
n
и значения функции f в этих точках, т.е.
)()( jyxf
j
=
.
Требуется получить приближение к значению функции )(xf . Рассмотрим метод наименьших квадратов.
Пусть приближающая функция ищется в виде
∑
=
ϕ=
m
i
ii
xcxg
1
)()( , (2.10)
где m < n.
Коэффициенты c
i
будем определять из условия
),...,,(min
21
,...,,
21
m
ccc
cccФ
m
,
где
∑∑∑
===
−ϕ=−==
n
j
n
j
m
i
jiijjj
jyxcPjyxgPcФgФ
111
22
))()(())()(()()( .
В основе метода наименьших квадратов лежит следующее соображение. Малость величины Ф(с)
обеспечивает близость функций )(xg и
)(xf
в точках
j
x
. При m << n функция )(xg содержит относи-
тельно мало параметров и поэтому у нее меньше возможностей отличаться от )(xf вне узлов по сравне-
нию со случаем m = n.
Числа
j
P > 0, называемые весами, подбирают в зависимости от плотности распределения точек
j
x .
Если значения
)()( jyxf
j
=
содержат случайную ошибку, то их выбирают также в зависимости от дис-
персии ошибок измеряемых значений. Там, где точки
j
x распределены плотнее, числа
j
P
берутся
меньше; значениям
)()( jyxf
j
= с большей дисперсией ошибки ставят в соответствие также меньшие
значения
j
P
. Для конкретных задач принципы выбора
j
P
и m вырабатываются с учетом специфических
свойств задач на основе статистических критериев и численного эксперимента.
Используя необходимое (и для данного случая достаточное) условие минимума функции Ф(с), по-
лучим систему линейных алгебраических уравнений для определения
i
с :
.)()(
),()(
,,1,0
2
1
1
1
1
∑
∑
∑
=
=
=
ϕ=
ϕϕ==
==−=
∂
∂
⋅
n
j
jkjk
n
j
jijkjikki
m
i
kiki
k
jyxPd
xxPdd
mkdcd
c
Ф
(2.11)
Числа
i
с можно находить непосредственно решая указанную систему уравнений (2.11) или мини-
мизируя каким-либо методом функцию )(cФ .

Страницы