ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
собой случайный процесс. Для решения задач анализа и синтеза СМО, оценки ее пропускной способности необходимо раз-
работать математическую модель случайного процесса, протекающего в системе.
Область применения математических моделей и методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется.
Многие задачи, связанные с автоматизацией производства, используют модели теории массового обслуживания. Например,
потоки деталей, поступающих на технологические машины для выполнения различных операций, могут рассматриваться как
потоки заявок, ритмичность поступления которых нарушается за счет случайных причин. Аналогичные задачи возникают в
телекоммуникационных и транспортных системах. Многие задачи, относящиеся к надежности технических устройств, на-
пример, расчет среднего времени безотказной работы, определение необходимого количества запасных деталей, среднего
времени простоя в связи с ремонтом и т.д., решаются методами, заимствованными из теории массового обслуживания.
5.2. МОДЕЛИ ПОТОКОВ СОБЫТИЙ
Под потоком событий в теории массового обслуживания и надежности понимается последовательность событий, происхо-
дящих одно за другим в моменты времени
...,,
21
tt
. Примерами таких потоков могут служить: поток деталей на обработку, поток
заявок на обслуживание телекоммуникационной сети, поток отказов в автоматической системе и т.п.
В общем случае события, образующие поток, могут быть различными. Если для моделирования работы СМО рассмат-
ривается поток, в котором события различаются лишь моментами появления, то его называют потоком однородных событий.
Если события происходят в случайные моменты времени, то соответствующий поток событий называется
случайным
. Поток
событий называется
регулярным,
если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.
Регулярный поток сравнительно редко встречается в реальных системах, однако он представляет интерес как
предельный
случай для других потоков.
В последующем, если не оговорено особо, поток событий будет считаться однородным и случайным. Важными свойст-
вами этого потока для моделирования СМО являются следующие.
1. Стационарность. Поток событий называется
стационарным,
если вероятность попадания определенного числа собы-
тий на участок (интервал) времени длиной
τ
зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени
расположен этот участок.
2. Отсутствие последствия. Поток событий называется
потоком без последействия
,
если для любых неперекрывающих-
ся интервалов времени число событий, попадающих на один участок, не зависит от числа событий, попадающих на другие
участки времени.
3. Ординарность. Поток событий называется
ординарным,
если вероятность попадания двух или более событий на эле-
ментарный (малый) временной участок
t
∆
пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.
4. Поток событий, обладающий перечисленными тремя свойствами (стационарность, ординарность и отсутствием по-
следействия) называется
простейшим
,
или стационарным пуассоновским. Для простейшего потока число событий, попа-
дающих на любой фиксированный интервал времени, распределено по закону Пуассона.
Условию стационарности удовлетворяют потоки, вероятностные характеристики которых не зависят от времени. Для
стационарного потока характерна постоянная плотность, т.е. среднее число заявок в единицу времени. На практике часто
встречаются потоки, которые могут рассматриваться как стационарные на ограниченном интервале времени. Например, по-
ток вызовов на телефонной станции в определенное время суток (рабочее время или ночное) может считаться стационарным,
а в течение целых суток поток уже нельзя считать стационарным.
Условие отсутствия последействия означает, что заявки поступают на обслуживание независимо друг от друга. Это ус-
ловие во многих случаях приемлемо для входных потоков. Однако выходной поток обслуженных заявок обычно имеет по-
следействие, даже если входной поток без последействия.
Условие ординарности потока означает, что заявки на обслуживание приходят поодиночке, а не группами (парами,
тройками и т.п.). Если в неординарном потоке заявки поступают одинаковыми по составу группами, то его можно свести к
ординарному. Для этого достаточно вместо потока отдельных заявок рассмотреть поток групп заявок (пар, троек и т.д.). Если
отдельные заявки случайным образом могут оказаться двойными, тройными и т.д., то приходится рассматривать поток раз-
нородных событий.
Простейший поток заявок играет в теории массового обслуживания особую роль, аналогичную роли нормального зако-
на среди законов распределения случайных величин. Известно, что при суммировании большого числа независимых случай-
ных величин, имеющих различные законы распределения, результирующая величина имеет распределение, близкое к нор-
мальному закону. Аналогично, при суммировании большого числа ординарных стационарных потоков, имеющих последей-
ствие, получается поток, близкий к простейшему. Это имеет место при условии, что складываемые потоки должны оказывать на
суммарный поток равномерно малое влияние. Обычно достаточно сложить не менее 4–5 потоков, чтобы получить поток, кото-
рый можно рассматривать как простейший.
Представим отдельный независимый поток событий
i
П
как последовательность моментов времени наступления собы-
тий (для входного потока – поступления заявок)
(
)
(
)
...,,
21
ii
tt
. Тогда суммирование нескольких потоков
ni
i
,1,П =
заключается
в том, что все моменты времени появления событий сносятся на одну временную ось и для суммарного потока
∑
П
можно
записать:
∑
=
=
∑
n
i
i
1
ПП
. (5.1)
На
рис
. 5.1
показано
суммирование
потоков
при
3
=
n
.
Широкое использование простейшего потока в теории массового обслуживания объясняется следующим. Во-первых,
простейшие и близкие к ним потоки часто встречаются на практике. Во-вторых, при потоках заявок, отличающихся от про-
стейших, во многих случаях можно получить приемлемые по точности результаты, если поток любой структуры заменить
простейшим с той же плотностью.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- …
- следующая ›
- последняя »
