ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5.3. МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В процессе функционирования состояния СМО скачком изменяются. Изменение состояния может быть вызвано прихо-
дом новой заявки, освобождением канала в результате обслуживания заявки, уходом заявки из очереди и т.п. Число возмож-
ных состояний системы считается конечным или счетным, множество состояний обозначим
{
}
...,3,2,1,0,
=
=
ix
i
X
. В любой
момент времени
t
система может находиться только в одном из этих состояний
X
∈
i
x
. Вероятность того, что в момент вре-
мени
t
система находится в состоянии
i
x
, обозначим
(
)
tp
i
. Для любого момента времени
t
должно выполняться условие
нормировки
( )
1=
∑
∈li
i
tp
, (5.20)
где
l
– множество номеров состояний системы.
Случайные процессы, протекающие в СМО, обычно представляют собой процессы с непрерывным временем, что свя-
зано со случайностью потока заявок.
Изменения состояний системы могут быть представлены ориентированным графом
G
изменения состояний. Вершины
графа соответствуют возможным состояниям, а дуги – переходам из одного состояния в другое за малый промежуток време-
ни
dt
.
Пример 5.1
. Пусть СМО имеет три канала. На рис. 5.3 приведен граф
G
, отображающий изменение состояний в систе-
ме обслуживания. Система может находиться в четырех состояниях:
−
0
x
все каналы свободны;
−
1
x
один канал занят;
−
2
x
два занято и
−
3
x
все три канала заняты. Если система в момент времени
t
находилась в состоянии
0
x
, то за малое вре-
мя
dt
она может перейти в состояние
1
x
при поступлении заявки (дуга
01
d
) или остаться в состоянии
0
x
(дуга
00
d
), если
заявок не поступало, и т.д.
Если входящий поток заявок пуассоновский, и время обслуживания имеет показательное распределение, то для анализа
функционирования СМО применяют аппарат марковских случайных процессов.
Процесс называется марковским или процессом без последействия, если для каждого момента времени вероятность лю-
бого состояния
x
системы в будущем, т.е. в момент времени
0
tt >
, зависит только от состояния системы в настоящий мо-
мент
0
t
и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.
Марковский процесс в СМО со счетным множеством состояний и непрерывным временем можно описать с помощью
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, где неизвестными функциями являются вероятности состояний
(
)
...,2,1,0, =itp
i
.
В зависимости от схемы обслуживания выделяют два типа СМО: системы с отказами и системы с ожиданием. В систе-
мах с отказами заявка, поступавшая в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ,
покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания эта заявка не участвует. В системах с ожиданием заявка, застав-
шая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал, т.е. заявка систему не
покидает.
Рассмотрим
n
-канальную СМО с отказами, ее возможными состояниями являются:
−
0
x
свободны все
n
каналов,
−
1
x
занят один канал, …,
−
n
x
заняты все
n
каналов. Пусть поток заявок простейший с плотностью
λ
и время обслуживания
показательное с параметром
µ
(см. (5.5) и (5.19)). Так как параметр
λ
имеет смысл плотности потока заявок или интенсив-
ности поступления заявок, то параметр
µ
можно считать плотностью потока освобождений занятого канала или интенсив-
ностью обслуживания. Так как потоки заявок и освобождений – простейшие, то процесс в такой СМО – марковский, и сис-
тема дифференциальных уравнений для вероятностей состояний имеет вид:
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
.
;1,1
;2
;
1
11
210
1
10
0
tpntp
dt
tdp
nitpitpitp
dt
tdp
tptptp
dt
tdp
tptp
dt
tdp
nn
n
iii
i
µ−λ=
<<µ++µ+λ−λ=
µ+µ+λ−λ=
µ+λ−=
−
+−
KKKKKKKKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKKKKKKKK
(5.21)
Система уравнений (5.21) называется уравнениями Эрланга и решается при начальных условиях
00
d
01
d
11
d
12
d
22
d
23
d
33
d
0
x
10
d
1
x
21
d
2
x
32
d
3
x
Рис. 5.3. Граф
G
системы с четырьмя состояниями
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- …
- следующая ›
- последняя »
