Основы математического моделирования и оптимизации процессов и систем очистки и регенерации воздуха. Дворецкий С.И - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

материала
I
L
, т.е.
II
L>>λ
. Выражение «толстый слой» означает, что продукты деления полностью поглощаются свинцом.
Это гарантируется при выполнении условия
IIII
L<<λ
, где
−λ
II
длина пробега продуктов распада в свинце,
−
II
L
харак-
терный размер свинцового слоя.
Итак, все, что вылетает из области
I
, поглощается в области
II
, и суммарная масса обоих веществ со временем не меня-
ется. Это и есть закон сохранения материи, примененный к данной ситуации. Если в начальный момент времени
0
=
t
массы
веществ были равны
)0(
I
M
и
)0(
II
M
, то в любой момент времени справедлив баланс
)()()0()0( tMtMMM
IIIIII
+=+
.
Одного уравнения, очевидно, недостаточно для определения текущих значений двух масс –
)(tM
I
и
)(tM
II
. Ско-
рость распада (число атомов, распадающихся в единицу времени) пропорциональна общему числу атомов радиоактивно-
го вещества. За время
dt
всего распадется
10,0),()()( <ξ<>αξ+α−=−+ dttNtNdttN
III
атомов. Здесь вторично ис-
пользован закон сохранения вещества, но применительно к отрезку времени
dt
. В этом уравнении, описывающем баланс
атомов, в правой части стоит знак минус (вещество убывает), а величина
)( dttN
I
ξ+
равна некоторому среднему значе-
нию числа атомов за рассматриваемое время. Перепишем его в дифференциальной форме
)(
)(
tN
dt
tdN
I
I
α−=
.
Учитывая, что
)()( tNtM
III
µ=
,
где
−
I
µ
атомный вес вещества
I
, получаем
)(
)(
tM
dt
tdM
I
I
α−=
.
При самопроизвольной радиоактивности любой атом имеет некоторую не зависящую от состояния окружающего
вещества вероятность распада. Поэтому чем больше (меньше) самого радиоактивного вещества, тем больше (меньше)
выделяется продуктов распада в единицу времени. Коэффициент пропорциональности
0
>
α
(постоянная распада) опре-
деляется конкретным веществом.
Интегрируя последнее уравнение, получаем, что масса делящегося материала убывает по экспоненциальному закону
t
II
eMtM
α−
= )0()(
, и при
∞
→
t
в области
I
вещество полностью исчезает.
Так как суммарная масса остается постоянной, то в области
II
количество вещества растет:
(
)
t
III
t
IIIIII
eMMeMMMtM
⋅α−⋅α−
−+=−+= 1)0()0()0()0()0()(
,
и при
∞
→
t
продукты распада полностью переходят из области
I
в область
II
.
Сохранение импульса
. Неподвижно стоящая в безветренную погоду на поверхности озера лодка начнет двигаться
вперед, если сделать несколько шагов от ее носа к корме. Так проявляет себя закон сохранения импульса, утверждающий:
полный импульс системы, не испытывающей действия внешних сил, сохраняется.
Принцип реактивного движения положен в основу многих замечательных технических устройств, например, ракеты,
выводящей на орбиту вокруг Земли искусственный спутник, для чего ей требуется развить скорость примерно 8 км/с.
Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении со-
противлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей.
Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают расположенные в кормовой части выхлопные сопла со ско-
ростью
u
(для современных топлив величина
u
равна 3 – 5км/с). За малый промежуток времени
dt
часть топлива выгоре-
ла, и масса ракеты изменилась на величину
dm
. Изменился также импульс ракеты, однако суммарный импульс системы
«ракета + продукты сгорания» остался тем же, что и в момент
t
, т.е.
[
]
udttvdmdttvdttmtvtm −δ+−++= )()()()()(
,
где
)(tv
скорость ракеты;
δ
δ
10,)( udttv
средняя за промежуток времени
dt
скорость истекающих из сопел га-
зов (обе скорости берутся относительно Земли). Первый член в правой части равенства – исмпульс ракеты в момент
dtt
+
, второй – импульс, переданный истекающим газом за время
dt.
Учитывая, что
),()()()(
2
dtOdtdtdmtmdttm ++=+
закон сохранения импульса можно переписать в виде дифференци-
ального уравнения

Страницы