Моделирование технических систем. Дьячков Ю.А - 195 стр.

      В таких случаях шаг интегрирования должен быть достаточно
мал, чтобы можно было учитывать изменения наиболее быстро ме-
няющихся членов уравнения после того, когда их вклад в решение
станет практически незаметным. Если не удается сохранить доста-
точно малую величину шага, то решение становится неустойчивым.
      Подобные задачи характерны для проблем управления, расче-
та электрических цепей и сетей, химических реакций и т.п.
      Пример. Исследуется система ОДУ:
                             U΄ = 998U + 1998V,
                            V΄ = –999U – 1999V.
     Для начальных условий U(0) = V(0) = 1 решение имеет вид:
                              U = 4e–t – 3e–1000t,
                              V = –2e–t + 3e–1000t.
     После небольшого промежутка времени решение становится
близким к функциям:
                                   U = 4e–t,
                                   V = –2e–t.
     Если для решения системы используется метод Эйлера (Рун-
ге–Кутта первого порядка), то дискретное решение имеет следую-
щий вид:
                       Uk + 1 = Uk + h(998Uk + 1998Vk),
                       Vk + 1 = Vk + h(–999Uk – 1999Vk),
где U(0) = V(0) = 1.
     При шаге интегрирования h = 0,01 значения функций во вто-
рой точке расчета таковы:
                  U1 = 1 + 0,01(998 + 1998) = 30,95,
                 V1 = 1 + 0,01(–999 – 1999) = –28,98.
     Последующие точки приводят к катастрофическим результа-
там. Поэтому для решения подобных задач используются специаль-
ные методы, среди которых наиболее известными являются следу-
ющие:
     1. Гира.
     2. Брайтона (ФДН – формулы дифференцирования назад).

                                      195