Статистические методы контроля и управления. Дядик В.Ф - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

112
Достаточным условием минимума является положительность вто-
рой производной:
2
2
()
0.
xx
dfx
dx
∗
=
>
(3.72)
Достаточным условием максимума – её отрицательность:
2
2
()
0.
xx
dfx
dx
∗
=
<
(3.73)
Пусть теперь f(
x
) является скалярной функцией n переменных.
В каждой точке области, где задана функция f(
x
), определим вектор,
составленный из частных производных функции:
()
(
)
(
)
(
)
12
xx x
x,,,.
n
ff f
xf
xx x
⎧
⎫
∂∂ ∂
∇=
⎡⎤
⎨
⎬
⎣⎦
∂∂ ∂
⎩⎭
…
(3.74)
Из математического анализа известно, что среди производных от
функции f(
x
) по всем возможным направлениям в пространстве пере-
менных х
1
, х
2
,..., х
n
градиент представляет собой производную от функ-
ции f(
x
) в точке
x
в направлении наибольшего изменения функции.
Доказывается, что необходимым условием экстремума является ра-
венство нулю вектор-градиента функции:
[
]
(x) 0.xf
∇
= (3.75)
Достаточные условия вытекают из знакоопределенности матрицы
вторых производных, или, как её называют, матрицы Гесса:
22
2
11 1
2
22
1
(x) (x)
,...,
(x)
.
x
(x) (x)
,...,
n
nnn
ff
x
xxx
f
ff
x
xxx
∂∂
∂∂ ∂∂
∂
=
∂
∂∂
∂∂ ∂∂
(3.76)
Достаточным условием минимума функции является положитель-
ная определенность матрицы Гесса. Иными словами, все главные мино-
ры матрицы, а, следовательно, и собственные значения должны быть
положительными.
Достаточным условием максимума функции является отрицатель-
ная определенность матрицы Гесса. В этом случае главные миноры по-
следовательно-повышающегося порядка имеют чередующийся знаки.
В общем случае
целевая функция может быть представлена в виде
некоторой поверхности, задаваемой в пространстве n переменных.
Полученные необходимые и достаточные условия оптимальности
позволяют идентифицировать оптимальную точку.

Страницы