Статистические методы контроля и управления. Дядик В.Ф - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

113
Полученные необходимые и достаточные условия оптимальности
позволяют определить и координаты оптимальной точки, когда целевая
функция представляет квадратичный полином. Действительно, пусть
целевая функция представляет собой квадратичную форму:
() ()
2
0
1,1 1
xx .
nn n
j j ij i j jj jj
jij j
ij
Y
f
bbx bxxbx
== =
≠
==+ + +
∑∑ ∑
Вычислив частные производные
(x)
i
Y
x
∂
∂
и приравнивая их к нулю,
получим систему n уравнений, решение которой и даёт искомое значе-
ние
*
x
. Такой метод определения координат оптимальной точки назы-
вается прямым. Однако при наложении ограничений на определенные
факторы не всегда удается применить прямые методы оптимизации для
моделей в виде алгебраических полиномов. В этих случаях для опреде-
ления значения
*
x
, доставляющей экстремум f(
x
), применяются раз-
личные итерационные методы.
В итерационных методах процедура поиска экстремума f(
x
) за-
ключается в следующем:
1.
Выбирают какую-либо точку
0
x
(х
0
1
,..., х
0
n
), называемую нуле-
вым приближением. Этой точке соответствует определенное значение
целевой функции
(
)
0
0
xYf=
.
2.
Затем, если ищется минимум, находят одно из направлений,
вдоль которого значение функции уменьшается. На этом направлении
берут новую точку
()
111
1
x ,...,
n
x
x=
. Новой точке соответствует значение
целевой функции
()
1
1
xYf=
. Если Y
1
< Y
0
, процедура повторяется. В ре-
зультате её повторения получают последовательность
(
)
01
x,x, ,x
i
…
то-
чек в пространстве факторов (х
1
,..., х
n
). Эта последовательность называ-
ется изображающими точками процесса поиска.
Итерационные методы, представляя процедуру последовательного
улучшения решения, могут различаться скоростью движения к экстре-
мальной точке, или, как иногда называют, сходимостью. Сходимость
итерационных методов определяется методом образования Δx
j
i
. Суще-
ствует целый ряд методов образования Δx
j
i
. К числу наиболее простых
относится метод градиента (метод пропорционального поиска).
В этом методе при поиске экстремума используется тот факт, что
при движении из точки
x
i
градиент в её окрестности задает направле-

Страницы