Статистические методы контроля и управления. Дядик В.Ф - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24
периментатор, анализирующий результаты эксперимента, – проводит
линию m
y/x
, выражающую эту зависимость. Линия m
y/x
соединяет услов-
ные математические ожидания M[y/x] – средние значения Y при различ-
ных Х – и называется линией регрессии.
Пусть в нашем случае линия регрессии – прямая линия. Тогда кро-
ме линии регрессии можно провести еще линии, параллельные осям X и
Y, из координат, соответствующих средним значениям переменных
m
x
= M[x]; m
y
= M[y]. Все три линии пересекутся в одной точке.
Для каждой экспериментальной точки можно найти значения
Δ
x
= x – m
x
, Δ
y
= y – m
y
и их произведение Δ
x
⋅Δ
y
. При этом, в первом
квадранте, образованном линиями m
x
и m
y
, точкам соответствует поло-
жительное произведение Δ
x
⋅Δ
y
, точкам, стоящим во втором квадранте –
отрицательное (Δ
x
< 0, Δ
y
> 0), в третьем квадранте – положительное, в
четвертом – отрицательное.
Если существует стохастическая связь между Х и Y, то соотноше-
ние между числом точек Ι, III и II, IV и квадратов неодинаково (напри-
мер, на рис. 1.9 точек с положительными произведениями
Δ
x
⋅Δ
y
= (x − m
x
)(y – m
y
) много больше, чем точек с отрицательными зна-
чениями этого произведения). В результате, для этого случая среднее
значение, стоящее в числителе выражения (1.38), будет положительным,
существенно отличающимся от нуля, а это значит r
yx
> 0.
Если Y не зависит от Х, экспериментальные точки расположатся
симметрично относительно линий m
x
и m
y
, причем, если плотности ве-
роятности f(x) и f(y) выражаются нормальными законами, то границы
расположения некоторой доли
β
экспериментальных точек, проведен-
ные при условии f(x,y) = const, будут представлять собой эллипсы с ося-
ми, совпадающими с m
x
и m
y
. В результате, числитель выражения (1.38)
станет равным нулю, т. е. r
yx
= 0.
В другом предельном случае, когда Х и Y связаны однозначной ли-
нейной зависимостью, т. е. y = a + bx, будем иметь:
[
]
2
2
2
;;
;
()
1, если 0,
1, если 0.
yxy x
yx
x
xy
x
mabmDDabxbD
b
bM x m
b
r
b
b
σσ
σ
=+ = + =
=
⎡⎤
−
+
>
⎧
⎣⎦
==
⎨
−
<
⎩
Таким образом, коэффициент корреляции равен по модулю едини-
це, если Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью, равен
нулю при отсутствии связи Х и Y в среднем и лежит в диапазоне

Страницы