Статистические методы контроля и управления. Дядик В.Ф - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

39
Определение спектрального состава стационарного случайного
процесса производится применением метода гармонического анализа
(преобразование Фурье) к автокорреляционной функции процесса:
0
1
() ( )cos ,
xx
K
Sd
τ
ωωτω
π
∞
=
∫
(1.73)
откуда спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t)
определяется по формуле:
0
() 2 ()cos .
xx
SK d
ω
τωττ
∞
=
∫
(1.74)
Из четности автокорреляционных функций вещественных случай-
ных процессов следует четность функций S
x
(ω), поэтому формулы при-
нимают вид:
() () ;
j
xx
SKed
ωτ
ω
ττ
∞
−
−∞
=
∫
(1.75)
1
() ( ) .
2
j
xx
K
Sed
ωτ
τ
ωω
π
∞
−∞
=
∫
(1.76)
Полагая в формуле (1.73)
τ
= 0, определяют дисперсию случайного
процесса X(t) как площадь, ограниченную кривой спектральной плотно-
сти
0
1
(0) ( ) .
x
xx
K
SdD
ωω
π
∞
==
∫
(1.77)
Таким образом, физически спектральную плотность можно интер-
претировать как разложение дисперсии процесса D
x
на сумму элемен-
тарных слагаемых S
x
(
ω
)d
ω
, каждое из которых представляет собой дис-
персию, приходящуюся на элементарный диапазон частот d
ω
, приле-
жащий к точке
ω
(рис. 1.16) или иначе: спектральная плотность харак-
теризует распределение энергии процесса по частотам элементарных
гармоник.
Спектральная плотность является четной функцией, она положи-
тельна при всех значениях
ω
. Диапазон частот, на которых величина
S
x
(
ω
) имеет существенные с точки зрения практических приложений
значения, тем шире, чем уже интервал времени, в течение которого спа-
дает автокорреляционная функция.
Аналогично автокорреляционной функции определяют нормиро-
ванную спектральную плотность:
()
() .
x
x
x
S
s
D
ω
= (1.78)

Страницы