Статистические методы контроля и управления. Дядик В.Ф - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

47
В качестве доверительной вероятности в инженерной практике
обычно принимают
β
= 95 %; эта вероятность говорит о том, что при
частых применениях данного метода вычисленный доверительный ин-
тервал примерно в 95 % случаев будет накрывать параметр а:
**
()().Pa a a
ε
εβ
⎡⎤
−
≤≤ + =
⎣⎦
(2.11)
Равенство (2.11) означает, что с вероятностью
β
неизвестное значе-
ние параметра а попадает в интервал
**
[( );( )].Ja a
β
ε
ε
=− +
(2.12)
Вероятность
β
принято называть доверительной вероятностью –
статистической надежностью, а интервал J
β
– доверительным интерва-
лом.
Границы интервала J
β
a
1
= a
*
– ε и a
2
= a
*
+ ε называются довери-
тельными границами.
Если бы нам был известен закон распределения величины а
*
, зада-
ча нахождения доверительного интервала была бы весьма проста: дос-
таточно было бы найти такое значение
ε
, для которого P[|a
*
– a| < ε] = β.
Так для нормального закона распределения имели бы
при
β
= 0,6827 = 68,27 %
ε
= ±
σ
a*
;
β
= 0,95 = 95 %
ε
= ± 1,96
σ
a*
≈ 2
σ
a*
;
β
= 0,99 = 99 %
ε
= ± 2,58
σ
a*
;
.................................................................
β
= 0,9973 = 99,73 %
ε
= ± 3
σ
a*
.
Затруднение состоит в том, что закон распределения оценки а
*
за-
висит от закона распределения величины Х и, следовательно, от неиз-
вестных параметров (в частности, от самого параметра а) и как правило,
неизвестен.
Если отдельные наблюдения независимы (х
i
) и распределены (хотя
бы приближенно), нормально искомое математическое ожидание m
х
со
статистической надежностью
β
лежит между доверительными граница-
ми
**
(1);
/,
xN x
mt N
α
σ
−
± (2.13)
где t
(N–1);α
– квантиль распределения Стьюдента (табл. А.1), (N – 1) –
число степеней свободы,
α
= 1 –
β
– вероятность ошибки, вероятность
превышения уровня, уровень значимости.
То есть в среднем в
β
% всех выборок между этими границами за-
ключено истинное значение математического ожидания m
x
:

Страницы