Статистические методы контроля и управления. Дядик В.Ф - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

48
** **
( 1); ( 1);
(/)(/).
xN x xN x
Pm t N m m t N
αα
σ
σβ
−−
⎡⎤
−
≤≤ + =
⎣⎦
(2.14)
Если
σ
известна (из генеральной совокупности), то вместо (2.13)
используется выражение:
*
,
x
mz
N
σ
±
где z – нормированная нормально-распределенная переменная; z = 1,96
(
β
= 95 %), z = 2,58 (
β
= 99 %), z = 3,29 (
β
= 99,9 %).
Для нормального распределения P[|x – m
x
| ≥ 3
σ
] = 0,0027, т. е. веро-
ятность того, что разность между случайной переменной, распределен-
ной примерно по нормальному закону, и ее средним значением по абсо-
лютной величине превосходит 3
σ
, меньше чем 0,3 %.
Для произвольного распределения справедливо неравенство Бьенэ-
мэ (1853 г.) и Чебышева (1874 г.): вероятность того, что разность между
случайной переменной и ее математическим ожиданием по абсолютной
величине больше k
σ
, меньше чем
2
1
k
.
В общем случае P[|x – m
x
| > k
σ
] <
2
1
k
.
Так, например, если k = 3, то P[|x – m
x
| > 3
σ
] <
2
1
3
< 0,1111.
При k ≥ 1, т. е. чтобы получить 5 %-й уровень значимости, необхо-
димо принять
ε
= ±4,47
σ
; тогда
2
1
4, 47
примерно равно 0,05.
Для симметричного распределения с одним максимумом справед-
ливо строгое неравенство Гаусса (1821 г.) P[|x – m
x
| > k
σ
] <
2
4
9k
, и от-
сюда P[|x – m
x
| > 3
σ
] <
4
99⋅
< 0,0494, т. е. вероятность отклонения слу-
чайной величины от ее математического ожидания большего чем 3
σ
,
примерно равно 5 %.
Интервальная оценка (доверительный интервал) J
β
дисперсии
(среднего квадратичного отклонения) случайной величины для D
х
мо-
жет быть построен на основании
χ
2
распределения («хи-квадрат» рас-
пределения).
Пусть D
х
*
– оценка дисперсии случайной величины выборки объе-
ма N из генеральной совокупности с дисперсией (параметром) D
х
; тогда

Страницы