Статистические методы контроля и управления. Дядик В.Ф - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

82
Условия минимальности для суммы квадратов отклонений (3.18)
получают путём приравнивания нулю частных производных от G по па-
раметрам b
j
:
2
10
00
2
10
11
2
10
0,
0,
0.
Nn
juj
u
uj
Nn
juj
u
uj
Nn
juj
u
uj
nn
G
ybx
bb
G
ybx
bb
G
ybx
bb
==
==
==
⎧
⎡⎤
⎛⎞
∂∂
⎪
⎢⎥
=−=
⎜⎟
∂∂
⎪
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎪
⎪
⎡⎤
⎛⎞
∂∂
⎪
⎢⎥
=−=
⎪
⎜⎟
∂∂
⎢⎥
⎨
⎝⎠
⎣⎦
⎪
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
⎪
⎪
⎡⎤
⎛⎞
∂∂
⎪
⎢⎥
=−=
⎜⎟
⎪
∂∂
⎢⎥
⎝⎠
⎪
⎣⎦
⎩
∑∑
∑∑
∑∑
(3.19)
Проведя необходимые преобразования, из (3.19) получают систему
нормальных уравнений для определения величин b
j
.
Так для уравнения
01
yb bx=+
введя х
u0
– фиктивную переменную,
равную единице во всех точках получим:
2
011
111
2
01111
111
,
,
NNN
uo uo u uo u
uuu
NNN
uo u u u u
uuu
bxbxx xy
bxxbx xy
===
===
⎧
⎛⎞⎛ ⎞
+=
⎪
⎜⎟⎜ ⎟
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎨
⎛⎞⎛⎞
⎪
+=
⎜⎟⎜⎟
⎪
⎝⎠⎝⎠
⎩
∑∑∑
∑∑∑
(3.20)
т. е. выполнение указанной процедуры даёт возможность составить сис-
тему, число уравнений которой равно числу неизвестных коэффициен-
тов.
Решение (3.20) при х
u0
= 1 даёт формулы для вычисления коэффи-
циентов уравнения регрессии:
2
111
11 1 1
0
2
2
11
11
;
NN N N
uuu
uu
uu u u
NN
uu
uu
y
xxx
y
b
Nx x
== = =
==
−
=
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
∑∑ ∑∑
∑∑
(3.21)
11
111
1
2
2
11
11
.
NNN
uu
uu
uuu
NN
uu
uu
Nx
y
x
y
b
Nx x
===
==
−
=
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑∑
∑∑
(3.22)
Система нормальных уравнений (3.20) имеет интересные особен-
ности. Во-первых, по диагонали левых частей уравнений под знаком

Страницы