ВУЗ:
Составители:
8
Эту задачу можно решить с помощью множителей Лагранжа. Соста-
вим функцию Лагранжа L(X, λ) = u(X) + λ(Q – PX), найдём частные произ-
водные и приравняем их к нулю:
∈
λ=
∂
∂
=−
=λ−
∂
∂
=
λ∂
∂
=
∂
∂
.
,
;0
,0
;0
,0
GX
P
X
u
PXQ
P
X
u
L
X
L
Получаем следующий вывод: точка спроса лежит на границе бюджет-
ного множества и характеризуется тем, что в ней вектор предельных полез-
ностей пропорционален вектору цен. Кроме того, в точке спроса отношение
предельной полезности товара к его цене есть величина постоянная:
nipxu
ii
...,,1,/)/(
*
=λ=∂∂
. (1.1)
Или, другими словами: в точке спроса предельная норма замещения j-го
товара i-м равна обратному отношению цен.
Далее, соотношение (1.1) показывает, что предельная полезность то-
вара в точке спроса, приходящаяся на одну единицу его цены, т.е. на одну
денежную единицу, одна и та же для всех товаров. Другими словами, опти-
мальный множитель Лагранжа
*
λ
, равный отношению предельной полезно-
сти к цене, измеряется в полезности единицы любого товара, делённой на
цену этого товара, что сводится к полезности на рубль. Следовательно,
*
λ
необходимо интерпретировать как предельную полезность добавочного до-
хода ∂u
*
/ ∂Q, которая называется иногда предельной полезностью денег.
Итак, если функция полезности строго вогнута и удовлетворяет неко-
торым условиям дифференцируемости, а все цены Р строго положительны,
то при любом данном доходе Q задача определения набора товаров, кото-
рый можно купить при этом доходе и имеющий наибольшую полезность,
имеет единственное решение.
Это решение X
*
называется точкой спроса. Как легко видеть, точка
спроса X
*
зависит от цен Р и дохода Q (поскольку здесь рассматривается
данный, конкретный потребитель, то его функция полезности считается
неизменной). Итак, точка спроса есть функция цен и дохода. Эта функция
называется функцией спроса.
Функция спроса – это вектор-функция своих n + 1 аргументов: n цен
p
1
, ..., p
n
и дохода Q. Рассматривая компоненты вектора X
*
, т.е. количества
товаров
*
i
x
, можно сказать, что функция спроса – это набор n функций:
.),...,,(
);,...,,(
1
**
1
*
1
*
1
Qppxx
Qppxx
nnn
n
=
=
M
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
