Интегральные оценки качества систем автоматического регулирования. Дылевский А.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Это означает, что min J
1
является критерием наилучшего приближения
исследуемого процесса к экспоненте с постоянной времени τ
1
.
Оценка J
k
является критерием приближения кривой переходного про-
цесса к решению уравнения порядка k [4]. Интеграл J
k
записывается в
виде
J
k
=
∞
Z
0
h
ε
2
(t) + τ
2
1
˙ε
2
(t) + . . . + τ
2k
k
(ε
(k)
(t))
2
i
dt =
=
∞
Z
0
h
ε(t) + α
1
˙ε(t) + . . . + α
k
ε
(k)
(t)
i
2
dt + c.
Возведя в квадрат подынтегральное выражение в правой части этого ра-
венства и интегрируя по частям произведения производных (см. (13), (15)–
(17)) при условии, что
ε(0) = ε
0
, ˙ε(0) = ¨ε(0) = . . . = ε
(k−1)
(0) = 0, (26)
получаем [4]:
c = α
1
ε
2
0
,
α
2
1
− 2α
0
α
2
= τ
2
1
,
α
2
2
− 2α
1
α
3
+ 2α
0
α
4
= τ
4
2
,
α
2
3
− 2α
2
α
4
+ 2α
1
α
5
− 2α
0
α
6
= τ
2
3
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
α
2
k
= τ
2k
k
,
(27)
где α
0
= 1. Очевидно, что J
k
принимает минимальное значение
min J
k
= c = α
1
ε
2
0
,
когда ε(t) является решением дифференциального уравнения
α
k
ε
(k)
(t) + α
k−1
ε
(k−1)
(t) + ··· + α
1
˙ε(t) + ε(t) = 0 (28)
при начальных условиях (26).
Коэффициенты τ
i
оценки J
k
определяются с помощью (27) по задан-
ным значениям коэффициентов α
r
желаемого уравнения (28).
Заметим, что вычисление квадратичных оценок J
k
можно проводить
по заданной частотной характеристике замкнутой системы. Пусть, как и
                                                     12

Это означает, что min J1 является критерием наилучшего приближения
исследуемого процесса к экспоненте с постоянной времени τ1 .
   Оценка Jk является критерием приближения кривой переходного про-
цесса к решению уравнения порядка k [4]. Интеграл Jk записывается в
виде

         Z∞ h                                                          i
                 2
  Jk =          ε (t) +    τ12 ε̇2 (t)   + ... +    τk2k (ε(k) (t))2       dt =
         0
                                         Z∞ h                                              i2
                                                                                  (k)
                                   =            ε(t) + α1 ε̇(t) + . . . + αk ε          (t) dt + c.
                                         0

Возведя в квадрат подынтегральное выражение в правой части этого ра-
венства и интегрируя по частям произведения производных (см. (13), (15)–
(17)) при условии, что

                     ε(0) = ε0 , ε̇(0) = ε̈(0) = . . . = ε(k−1) (0) = 0,                         (26)

получаем [4]:

                          c = α1 ε20 ,
                        
                        
                        
                        
                          α12 − 2α0 α2 = τ12 ,
                        
                        
                        
                        
                        
                         α2 − 2α α + 2α α = τ 4 ,
                        
                            2      1 3       0 4   2
                                                                                                 (27)
                        
                        
                         α32 − 2α2 α4 + 2α1 α5 − 2α0 α6 = τ32 ,
                        
                          ..............................
                        
                        
                        
                        
                        
                         2
                          αk = τk2k ,

где α0 = 1. Очевидно, что Jk принимает минимальное значение

                                         min Jk = c = α1 ε20 ,

когда ε(t) является решением дифференциального уравнения

             αk ε(k) (t) + αk−1 ε(k−1) (t) + · · · + α1 ε̇(t) + ε(t) = 0                         (28)

при начальных условиях (26).
    Коэффициенты τi оценки Jk определяются с помощью (27) по задан-
ным значениям коэффициентов αr желаемого уравнения (28).
    Заметим, что вычисление квадратичных оценок Jk можно проводить
по заданной частотной характеристике замкнутой системы. Пусть, как и

Страницы