Интегральные оценки качества систем автоматического регулирования. Дылевский А.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
ранее, E(s) — изображение по Лапласу для переходной составляющей
ошибки ε(t), определяемое формулами (4), (5). Сравнивая J
0
с изобра-
жение для ε
2
(t), имеющего вид
∞
R
0
ε
2
(t)e
−st
dt, находим
J
0
=
∞
Z
0
ε
2
(t) dt = L
ε
2
(t)
s=0
.
Для изображения произведения двух оригиналов L
ε(t)ε(t)
= L
ε
2
(t)
применима теорема об умножении оригиналов, согласно которой
L
ε
2
(t)
=
1
2πj
σ+j∞
Z
σ−j∞
E(s −q)E(q) dq, (29)
где j =
√
−1 — мнимая единица и в полуплоскости Re s = σ > s
0
функ-
ция E(s) аналитическая. Если все полюса E(s) находятся слева от мни-
мой оси, то в (29) можно положить σ = 0, а q = jω. Тогда
L
ε
2
(t)
=
1
2π
∞
Z
−∞
E(s − jω)E(jω) dω.
Полагая в последнем равенстве s = 0, находим выражение для J
0
J
0
=
1
2π
∞
Z
−∞
E(−jω)E(jω) dω =
1
π
∞
Z
0
|E(jω)|
2
dω. (30)
Полученная формула называется формулой Рэлея.
                                         13

ранее, E(s) — изображение по Лапласу для переходной составляющей
ошибки ε(t), определяемое формулами (4), (5). Сравнивая J0 с изобра-
                             R∞ 2
жение для ε (t), имеющего вид ε (t)e−st dt, находим
           2
                                    0

                            Z∞
                                 ε2 (t) dt = L ε2 (t)
                                              
                     J0 =                                 s=0
                                                                .
                            0

   Для изображения произведения двух оригиналов L ε(t)ε(t) = L ε2 (t)
                                                             

применима теорема об умножении оригиналов, согласно которой
                                        σ+j∞
                                         Z
                                  1
               L ε2 (t) =
                 
                                               E(s − q)E(q) dq,           (29)
                                 2πj
                                        σ−j∞

       √
где j = −1 — мнимая единица и в полуплоскости Re s = σ > s0 функ-
ция E(s) аналитическая. Если все полюса E(s) находятся слева от мни-
мой оси, то в (29) можно положить σ = 0, а q = jω. Тогда
                                        Z∞
                           1
               L ε2 (t) =
                
                                             E(s − jω)E(jω) dω.
                          2π
                                    −∞

Полагая в последнем равенстве s = 0, находим выражение для J0

                     Z∞                               Z∞
                1                          1
          J0 =            E(−jω)E(jω) dω =                 |E(jω)|2 dω.   (30)
               2π                          π
                    −∞                                0


Полученная формула называется формулой Рэлея.

Страницы