Интегральные оценки качества систем автоматического регулирования. Дылевский А.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
где ε(t) : E(s). Следовательно, при s = 0
I
k
=
∞
Z
0
t
k
ε(t) dt = (−1)
k
E
(k)
(0). (3)
Представим E(s) в виде ряда по степеням s
E(s) = C
0
+ C
1
s
1!
+ C
2
s
2
2!
+ . . . + C
k
s
k
k!
+ . . . ,
где коэффициенты ряда C
k
являются коэффициентами ошибок, C
k
=
E
(k)
(0). Таким образом,
I
k
= (−1)
k
E
(k)
(0) = (−1)
k
C
k
.
Отметим, что изображение E(s) переходной составляющей ошибки
ε(t) может быть найдено по передаточной функции замкнутой системы
W (s). Действительно, по определению
h(t) : H(s) =
W (s)
s
.
В силу теоремы о конечном значении
h
уст
= lim
t→∞
h(t) = lim
s→0
sH(s) = W (0).
Поэтому
ε(t) = h
уст
− h(t) : E(s) =
h
уст
s
− H(s) =
W (0) − W (s)
s
. (4)
Поскольку W (s) — дробно-рациональная функция, то E(s) можно пред-
ставить в виде дробно-рациональной функции
E(s) =
b
0
s
m
+ b
1
s
m−1
+ . . . + b
m−1
s + b
m
a
0
s
n
+ a
1
s
n−1
+ . . . + a
n−1
s + a
n
. (5)
Тогда, принимая во внимание формулу (3), находим
I
0
=
b
m
a
n
, a
n
6= 0. (6)
                                        5

где ε(t) : E(s). Следовательно, при s = 0
                          Z∞
                   Ik =        tk ε(t) dt = (−1)k E (k) (0).           (3)
                          0

Представим E(s) в виде ряда по степеням s

                          s    s2           sk
            E(s) = C0 + C1 + C2 + . . . + Ck + . . . ,
                          1!   2!           k!
где коэффициенты ряда Ck являются коэффициентами ошибок, Ck =
E (k) (0). Таким образом,

                    Ik = (−1)k E (k) (0) = (−1)k Ck .

    Отметим, что изображение E(s) переходной составляющей ошибки
ε(t) может быть найдено по передаточной функции замкнутой системы
W (s). Действительно, по определению

                                              W (s)
                          h(t) : H(s) =             .
                                               s
В силу теоремы о конечном значении

                hуст = lim h(t) = lim sH(s) = W (0).
                        t→∞             s→0

Поэтому

                                       hуст          W (0) − W (s)
      ε(t) = hуст − h(t) : E(s) =           − H(s) =               .   (4)
                                        s                  s
Поскольку W (s) — дробно-рациональная функция, то E(s) можно пред-
ставить в виде дробно-рациональной функции

                      b0 sm + b1 sm−1 + . . . + bm−1 s + bm
             E(s) =                                          .         (5)
                       a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an−1 s + an

Тогда, принимая во внимание формулу (3), находим

                                     bm
                              I0 =      , an 6= 0.                     (6)
                                     an

Страницы