Интегральные оценки качества систем автоматического регулирования. Дылевский А.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Рассмотрим далее метод аналитического вычисления интеграла I
0
,
предложенный академиком В. С. Кулебакиным [3], для заданного диф-
ференциального уравнения (8) с начальными условиями (9). Делая под-
становку значения ε(t) из уравнения (8), при a
n
6= 0 имеем
I
0
=
∞
Z
0
ε(t) dt = −
1
a
n
∞
Z
0
h
a
0
ε
(n)
(t) + . . . + a
n−1
˙ε(t)
i
dt =
= −
1
a
n
h
a
0
ε
(n−1)
(t) + a
1
ε
(n−2)
(t) + . . . + a
n−2
˙ε(t) + a
n−1
ε(t)
i
∞
0
.
Будем предполагать, что при t = ∞ переходный процесс закончился и
регулируемая величина приняла установившееся значение. Тогда
ε
(n−1)
(t)
t=∞
= ε
(n−2)
(t)
t=∞
= . . . = ˙ε(t)
t=∞
= ε(t)
t=∞
= 0.
Таким образом, значение I
0
определяется по формуле
I
0
=
1
a
n
[a
0
ε
n−1
+ a
1
ε
n−2
+ . . . + a
n−2
ε
1
+ a
n−1
ε
0
] (11)
исходя из заданных начальных значений ε
i
и коэффициентов a
r
. По-
скольку
b
r
=
l−1+r
X
i=0
a
l−1+r−i
ε
i
, r =
0, m,
то
b
m
=
n−1
X
i=0
a
n−1−i
ε
i
и формулы (6) и (11) эквивалентны.
3. Вычисление квадратичных интегральных оценок
Для вычисления интеграла J
0
воспользуемся методом, указанным ака-
демиками А. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси в 1909 г. [3]. Пусть
задано дифференциальное уравнение (8) с начальными условиями (9).
Умножим уравнение (8) поочередно на ε
(r)
(t) при r = 0, n − 1 и почлен-
но проинтегрируем полученные уравнения
n
X
i=0
a
n−i
∞
Z
0
ε
(r)
(t)ε
(i)
(t) dt = 0, r = 0, n − 1. (12)
                                                           7

   Рассмотрим далее метод аналитического вычисления интеграла I0 ,
предложенный академиком В. С. Кулебакиным [3], для заданного диф-
ференциального уравнения (8) с начальными условиями (9). Делая под-
становку значения ε(t) из уравнения (8), при an 6= 0 имеем

            Z∞                        Z∞ h
                              1                     (n)
                                                                                  i
     I0 =        ε(t) dt = −                 a0 ε         (t) + . . . + an−1 ε̇(t) dt =
                             an
            0                         0
          1 h (n−1)                                                      i∞
                               (n−2)
      =−     a0 ε   (t) + a1 ε       (t) + . . . + an−2 ε̇(t) + an−1 ε(t) .
         an                                                               0

Будем предполагать, что при t = ∞ переходный процесс закончился и
регулируемая величина приняла установившееся значение. Тогда
      ε(n−1) (t)    t=∞
                           = ε(n−2) (t)        t=∞
                                                          = . . . = ε̇(t)   t=∞
                                                                                  = ε(t)   t=∞
                                                                                                 = 0.
Таким образом, значение I0 определяется по формуле

                         1
                 I0 =      [a0 εn−1 + a1 εn−2 + . . . + an−2 ε1 + an−1 ε0 ]                             (11)
                        an

исходя из заданных начальных значений εi и коэффициентов ar . По-
скольку
                      l−1+r
                       X
                 br =       al−1+r−i εi , r = 0, m,
                                       i=0
то
                                                     n−1
                                                     X
                                          bm =              an−1−i εi
                                                     i=0
и формулы (6) и (11) эквивалентны.

            3. Вычисление квадратичных интегральных оценок

   Для вычисления интеграла J0 воспользуемся методом, указанным ака-
демиками А. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси в 1909 г. [3]. Пусть
задано дифференциальное уравнение (8) с начальными условиями (9).
Умножим уравнение (8) поочередно на ε(r) (t) при r = 0, n − 1 и почлен-
но проинтегрируем полученные уравнения
                    n
                    X            Z∞
                          an−i        ε(r) (t)ε(i) (t) dt = 0,          r = 0, n − 1.                   (12)
                    i=0          0

Страницы