Интегральные оценки качества систем автоматического регулирования. Дылевский А.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Из соотношения (5) сразу следует, что ε(t) является решением диф-
ференциального уравнения
a
0
ε
(n)
(t) + a
1
ε
(n−1)
(t) + . . . + a
n−1
˙ε(t) + a
n
ε(t) =
= b
0
δ
(m)
(t) + b
1
δ
(m−1)
(t) + . . . + b
m−1
˙
δ(t) + b
m
δ(t) (7)
с нулевыми начальными условиями, где δ(t) — дельта-функция Дира-
ка. Однако на практике переходную составляющую ошибки ε(t) удобнее
рассматривать как решение однородного уравнения
a
0
ε
(n)
(t) + a
1
ε
(n−1)
(t) + . . . + a
n−1
˙ε(t) + a
n
ε(t) = 0 (8)
при ненулевых начальных условиях
ε(0) = ε
0
, ˙ε(0) = ε
1
, . . . , ε
(n−1)
(0) = ε
n−1
. (9)
Допустим, что n − m = l > 0. Выразим начальные значения ε
i
через
коэффициенты дифференциального уравнения (7). Применяя к уравне-
ниям (7) и (8) теорему о дифференцировании оригинала, соответственно
получаем
n
X
k=0
a
k
s
n−k
E(s) =
m
X
r=0
b
r
s
m−r
,
n
X
k=0
a
k
"
s
n−k
E(s) −
n−k
X
i=1
s
n−k−i
ε
(i−1)
(0)
#
= 0.
Отсюда сразу вытекает условие
m
X
r=0
b
r
s
m−r
=
n
X
k=0
a
k
n−k
X
i=1
s
n−k−i
ε
i
.
Нетрудно проверить, что
n
X
k=0
a
k
n−k
X
i=1
s
n−k−i
ε
i
=
n−1
X
k=0
a
k
n−k
X
i=1
s
n−k−i
ε
i
=
n−1
X
k=0
s
n−1−k
k
X
i=0
a
k−i
ε
i
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, окончательно
находим
ε
r
=
0, r = 0, l − 2,
1
a
0
b
r−l+1
+
r−1
P
k=0
a
r−k
ε
k
, r = l − 1, l − 1 + m.
(10)
                                                     6

   Из соотношения (5) сразу следует, что ε(t) является решением диф-
ференциального уравнения

  a0 ε(n) (t) + a1 ε(n−1) (t) + . . . + an−1 ε̇(t) + an ε(t) =
                       = b0 δ (m) (t) + b1 δ (m−1) (t) + . . . + bm−1 δ̇(t) + bm δ(t) (7)
с нулевыми начальными условиями, где δ(t) — дельта-функция Дира-
ка. Однако на практике переходную составляющую ошибки ε(t) удобнее
рассматривать как решение однородного уравнения
             a0 ε(n) (t) + a1 ε(n−1) (t) + . . . + an−1 ε̇(t) + an ε(t) = 0                         (8)
при ненулевых начальных условиях
                       ε(0) = ε0 , ε̇(0) = ε1 , . . . , ε(n−1) (0) = εn−1 .                         (9)
   Допустим, что n − m = l > 0. Выразим начальные значения εi через
коэффициенты дифференциального уравнения (7). Применяя к уравне-
ниям (7) и (8) теорему о дифференцировании оригинала, соответственно
получаем
                   n
                   X                           m
                                               X
                              n−k
                          ak s      E(s) =           br sm−r ,
                   k=0                         r=0
                   n
                             "                  n−k
                                                                                  #
                   X                            X
                          ak sn−k E(s) −                 sn−k−i ε(i−1) (0) = 0.
                   k=0                          i=1

Отсюда сразу вытекает условие
                            m
                            X                   n
                                                X             n−k
                                                              X
                                     m−r
                                  br s     =             ak         sn−k−i εi .
                            r=0                 k=0           i=1

Нетрудно проверить, что
  n
  X          n−k
             X                      n−1
                                    X          n−k
                                               X                        n−1
                                                                        X             k
                                                                                      X
                   n−k−i                              n−k−i                   n−1−k
        ak         s         εi =         ak         s          εi =          s             ak−i εi .
  k=0        i=1                    k=0        i=1                      k=0           i=0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, окончательно
находим
          
          0,                        r = 0, l − 2,
                                   
     εr =   1           r−1
                        P                                    (10)
              br−l+1 +     ar−k εk , r = l − 1, l − 1 + m.
            a0          k=0

Страницы