Физика. Часть 3. Колебания и волны. Волновая оптика. Дымченко Н.П - 15 стр.

    Математический маятник
      Математическим маятником называется тело точечной массы m, под-
вешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной l (рис.1.5). Данная
идеализированная модель является хорошим приближением системы (например
шарик, подвешенный на нити), в которой размерами тела можно пренебречь.
                                                                          r
                          На шарик действуют две силы: сила тяжести mg ,
                          направленная
                           r             вертикально вниз, и сила упругости
                          Fупр , направленная вдоль нити.
             ϕ                                                              r
                                 В положении равновесия сила тяжести mg
                                                                      r
                 r        уравновешивается силой натяжения нити Fупр . При
                 Fупр
                          отклонении маятника из положения равновесия rна
                                                                       r
                          некоторый угол φ, результирующая сил mg и Fупр
               r
              F           уже не будет равна нулю, и будет служить возвра-
                      r
                          щающей силой.
                   mg            Для того чтобы вычислить возвращающую си-
                          лу, разложим силу тяжести на две составляющие:
                          нормальную mg ⋅ cosϕ , направленную вдоль нити, и
Рис.1.5. Математический  тангенциальную mg ⋅ sin ϕ , направленную
          маятник         перпендикулярно нити по касательной к траектории
шарика.
 r     Нормальная составляющая силы тяжести уравновешивает силу упругости
Fупр . Следовательно, возвращающей силой является тангенциальная состав-
ляющая силы тяжести. В соответствии со вторым законом Ньютона (1.2)
запишем:
                                  d 2x
                                m 2 = −mg sin ϕ .                      (1.22)
                                  dt
     Знак «минус» в этой формуле означает, что тангенциальная составляющая
направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
     Уравнение (1.22) имеет простое решение только при малых углах φ, когда
sinϕ≈ϕ (угол ϕ измеряется в радианах). Это условие реализуется, если смеще-
ние x мало по сравнению с длиной нити l.
     Для малых углов уравнение (1.22) преобразуется:
                                  d 2x
                                       = − gϕ .                         (1.23)
                                  dt 2
     Смещение маятника от положения равновесия можно характеризовать как
углом φ, так и величиной x, отсчитанной по дуге окружности радиуса l. Они
связаны между собой: φ = x / l. Подставив эту формулу в выражение (1.23), по-
лучаем дифференциальное уравнение колебания математического маятника:

                                     15