Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

11
∑
= ,0
z
F ,0
3
=
+
−
FN .
3
FN
=
Поскольку при определении нормальных сил мы разрезали стержень в произвольном
сечении каждого участка, то полученные результаты в равной мере справедливы для всех
сечений этих участков. В данной задаче нормальные силы на каждом участке постоянны, т.к.
не зависят от координаты Z.
Нормальные напряжения на каждом участке стержня находим по формуле (1.1).
Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 1.1, в.
Эпюру перемещений начинаем строить от заделки, так как перемещение сечения
a
нам известно и равно нулю: .0=
a
w
1 участок
.0 l≤≤ z Найдем перемещение произвольного сечения на расстоянии z от
заделки. Это перемещение равно удлинению участка стержня длиной z.
E
A
Fz
E
A
zN
zw
ab
az
−==∆= l)(
(линейная функция).
Знак минус говорит о том, что участок стержня длиной Z не удлинился, а укоротился
и, таким образом, сечение с координатой Z перемещается влево.
,0)0( =
a
w
EA
w
b
l
l −=)( (влево).
2 участок
.0 l≤≤ z
EA
ZN
EA
F
wzw
bzb
2
)(
2
+−=∆+=
l
l (линейная функция).
,)(
E
A
F
w
b
l
l
−=
E
A
F
E
A
F
E
A
F
w
c
lll
l
2
3
2
)( −=
−
+−=
(влево).
Таким образом, сечение
с перемещается также влево за счет укорочения участков ab
и
bc .
3 участок
.0 lz ≤≤
EA
ZN
EA
F
wzw
czc
3
2
3
)( +−=∆+=
l
l (линейная функция).
,
2
3
)0(
EA
F
w
c
l
−=
EA
F
EA
F
EA
F
w
d
22
3
)(
lll
l −=+−= (влево).
Величины внутренних сил
1
N
,
2
N
,
3
N
на участках ab , bc , и cd при вычислении
перемещений определяем по эпюре нормальных сил
N
(рис. 1.1). Эпюра перемещений
показана на рис. 1.1. Перемещения, направленные влево, отложены на эпюре вниз.
Потенциальную энергию деформации вычислим по формуле (1.6)
.
4
5
242
2222
EA
F
EA
F
EA
F
EA
F
U
llll
=++=
Работу, совершаемую внешними силами, найдем, используя формулу (1.8)
EA
F
EA
F
F
EA
F
FW
lll
2
4
5
22
1
2
3
2
2
1
=−= .
Работа силы
F считается отрицательной, так как направление силы F и направление
перемещения ее точки приложения
a
w противоположны.
Пример 1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для
стержня, показанного на рис. 1.3. Интенсивность нормальных сил
e
n , размеры стержня и
модуль упругости заданы.
Решение.
Нормальные усилия определяются по методу сечений.
1 участок
.0 l≤≤ z Уравнение равновесия (рис 1.4,а)
∑
= ,0
z
F l
e
nN
2
1
1
= .
2 участок
.0 l≤≤ z
Уравнение равновесия (рис.1.4,б)
∑
= ,0
z
F ZnnN
ee
32
2
+
−
=
l (линейная функция) 
                                 ∑F   z   = 0,   − N 3 + F = 0,   N3 = F.
       Поскольку при определении нормальных сил мы разрезали стержень в произвольном
сечении каждого участка, то полученные результаты в равной мере справедливы для всех
сечений этих участков. В данной задаче нормальные силы на каждом участке постоянны, т.к.
не зависят от координаты Z.
       Нормальные напряжения на каждом участке стержня находим по формуле (1.1).
Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 1.1, в.
       Эпюру перемещений начинаем строить от заделки, так как перемещение сечения a
нам известно и равно нулю: wa = 0.
       1 участок 0 ≤ z ≤ l. Найдем перемещение произвольного сечения на расстоянии z от
заделки. Это перемещение равно удлинению участка стержня длиной z.
                                              N z        Fz
                            w( z ) = ∆l az = ab = −           (линейная функция).
                                               EA        EA
       Знак минус говорит о том, что участок стержня длиной Z не удлинился, а укоротился
и, таким образом, сечение с координатой Z перемещается влево.
                                                                 l
                                     w a (0) = 0, wb (l) = −           (влево).
                                                                EA
                                                                Fl N 2 Z
               2 участок 0 ≤ z ≤ l. w( z ) = wb + ∆l bz = −         +         (линейная функция).
                                                               EA 2 EA
                                    Fl                   Fl − Fl          3 Fl
                        wb (l) = −       ,    wc (l) = −     +        =−          (влево).
                                    EA                   EA 2 EA          2 EA
       Таким образом, сечение с перемещается также влево за счет укорочения участков ab
и bc .
                                                              3Fl N 3 Z
               3 участок 0 ≤ z ≤ l. w( z ) = wc + ∆l cz = −         +       (линейная функция).
                                                              2 EA EA
                                     3Fl                  3 Fl Fl           Fl
                         wc (0) = −        , wd (l) = −         +       =−       (влево).
                                     2 EA                 2 EA EA          2 EA
       Величины внутренних сил N 1 , N 2 , N 3 на участках ab , bc , и cd при вычислении
перемещений определяем по эпюре нормальных сил N (рис. 1.1). Эпюра перемещений
показана на рис. 1.1. Перемещения, направленные влево, отложены на эпюре вниз.
       Потенциальную энергию деформации вычислим по формуле (1.6)
                                             F 2l F 2l F 2l 5 F 2l
                                       U=          +       +       =        .
                                             2 EA 4 EA 2 EA 4 EA
       Работу, совершаемую внешними силами, найдем, используя формулу (1.8)
                                           1      3 Fl 1 Fl 5 F 2 l
                                     W = 2F             − F          =         .
                                           2      2 EA 2 2 EA 4 EA
       Работа силы F считается отрицательной, так как направление силы F и направление
перемещения ее точки приложения wa противоположны.
       Пример 1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для
стержня, показанного на рис. 1.3. Интенсивность нормальных сил ne , размеры стержня и
модуль упругости заданы.
       Решение. Нормальные усилия определяются по методу сечений.
       1 участок 0 ≤ z ≤ l. Уравнение равновесия (рис 1.4,а)
                                                                        1
                                       ∑ Fz = 0,                 N 1 = ne l .
                                                                        2
       2 участок 0 ≤ z ≤ l. Уравнение равновесия (рис.1.4,б)
                        ∑ Fz = 0, N 2 = −2ne l + 3ne Z (линейная функция)

                                                 11

Страницы