Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 114 стр.

                 Глава 6. Устойчивость продольно - сжатых стержней

                    6.1. Метод Эйлера определения критических нагрузок

       В данной главе рассматривается устойчивость центрально - сжатых стержней с
прямолинейной осью, а также устойчивость рам, составленных из стержней с
прямолинейной осью [3]. Под устойчивостью понимается способность стержня возвращаться
в исходное прямолинейное состояние после снятия нагрузки. Критической называется
нагрузка, при которой исходная форма равновесия сжатого стержня становится
неустойчивой.
       При решении задачи по методу Эйлера ось стержня считается идеально прямой,
нагрузка действует строго по оси. При отклонении стержня от исходной (прямолинейной)
формы нагрузка сохраняет свое направление. Такую нагрузку часто называют «мертвой».
Кроме этого предполагается, что материал стержня – линейно упругий. Отклонения стержня
от исходного состояния предполагаются малыми.
       В соответствии с методом Эйлера составляется дифференциальное уравнение
изогнутой оси стержня и находятся те нагрузки, при которых существуют ненулевые
решения этого уравнения (то есть нагрузки, при которых появляются новые криволинейные
формы равновесия). Найденная таким образом нагрузка считается критической.
Следовательно, в методе Эйлера под критической понимается та нагрузка, при которой
происходит смена форм равновесия.
       Формула Эйлера для вычисления критической нагрузки для различных стержней
записывается в виде:
                                               π 2 EI min                         (6.1)
                                         Fcr =            ,
                                                ( µl ) 2


       где Е – модуль упругости материала стержня; I min - минимальный момент инерции
поперечного сечения стержня; l - длина стержня; µ - коэффициент приведения длины.
Коэффициент µ зависит от особенностей приложения сжимающей нагрузки и условий
закрепления стержня.
       Для простейших случаев нагружения и закрепления стержней коэффициент µ , а
следовательно, и критическая нагрузка, может быть найден из выражения
                                                 1
                                             µ= ,
                                                 n
где n - число полуволн, образующихся при потере устойчивости стержня.
       На рис.6.1 показано несколько видов закрепления стержня и указаны
соответствующие значения коэффициента приведения длины µ .




                                           Рис.6.1

      Формулу Эйлера (6.1) можно использовать, если материал стержня подчиняется
закону Гука. Для материалов, имеющих начальный линейный участок диаграммы сжатия,
условие применимости формулы Эйлера записывается в виде:




                                          114