Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 116 стр.

      В случае д стержень изгибается с образованием 2-х одинаковых полуволн n = 2 ,
поэтому µ = 1 / 2 .
      Пример 6.2. Найти критическую нагрузку для стержня, изображенного на рис.6.4,а.
      Решение. Составим дифференциальные уравнения упругой линии стержня
                         EIv1′′ = − Fv1 ,         0 ≤ z ≤ l/2.
                               EIv ′2′ = − Ff ,                         l/2 ≤ z ≤ l.


                                                          Б
                                  A



                                                         Рис.6.4

          F
Полагая      = k 2 , получим
          EI
                                                  v1′′ + k 2 v1 = 0 ,
                                                  v2′′ = −k 2 f .
Решения уравнений имеют вид
                                       v1 = C1 sin kz + C 2 cos kz ,
                                              1
                                       v2 = − k 2 fz 2 + C3 z + C 4 .
                                              2
Граничные условия:
                               z=0                v1 = 0 , C 2 = 0 .
                               z = l/2            v1 = v2 = f ,
                                                  v1′ = v ′2 ,
                              z=l               v2′ = 0 .
      Используя граничные условия, получим систему алгебраических уравнений
относительно постоянных интегрирования (включая f )
                                   kl
                              sin C1 + 0 ⋅ C3 + 0 ⋅ C4 − 1 ⋅ f = 0 ,
                                   2
                                                               2
                                       l                   2 l
                              0 ⋅ C1 + C3 + 1⋅ C 4 − (k          + 1) f = 0 ,
                                       2                     8
                                      kl                          k 2l
                              k ⋅ cos C1 − 1⋅ C3 + 0 ⋅ C 4 +           f = 0,
                                      2                            2
                              0 ⋅ C1 + 1 ⋅ C3 + 0 ⋅ C4 − k 2 ⋅ l ⋅ f = 0 .
      Полученная система линейных однородных алгебраических уравнений имеет нулевые
решения: C1 = C 2 =C 3 = C 4 = f = 0 . Но тогда функция v тождественно равна нулю и стержень
имеет прямолинейную форму равновесия.
      Нас же интересуют такие ненулевые решения, которые соотвествуют криволинейной
форме равновесия. Для получения ненулевых решений приравниваем нулю определитель
системы уравнений
      Раскрывая определитель, получим трансцендентное уравнение
                                                          kl kl
                                                    ctg = .
                                                          2      2



                                                       116