Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 118 стр.

                               k 2l 2       l
      0 ⋅ C1 + 0 ⋅ C2 − (1 +          ) f + C3 + 1 ⋅ C 4 = 0 ,
                                16          2
               kl                 kl          1     3
       k ⋅ cos ⋅ C1 − k ⋅ sin ⋅ C2 + (1 − ⋅ k 2 l 2 ) f − 1 ⋅ C3 + 0 ⋅ C4 = 0 .
               2                  2           2     8
       0 ⋅ C1 + 0 ⋅ C2 + 0 ⋅ f + l ⋅ C3 + 1 ⋅ C 4 = 0
      Условием существования ненулевых решений является равенство нулю определителя,
составленного из коэффициентов системы уравнений:
                            0               1                0           0 0
                              kl              kl              1
                         sin             cos                −            0 0
                              2               2               2
                                                             1            l 1
                            0               0        − (1 + k 2 l 2 )             =0.
                                                            16           2
                               kl              kl     1      3
                        k cos          − k sin          (1 − k 2 l 2 ) -1 0
                                2               2     2      8
                            0               0                0           l 1
Раскрывая определитель, приходим к трансцендентному уравнению
                                                       kl       (kl / 2)
                                                   tg =                    .
                                                        2 (kl / 2) 2 − 3
                                                               kl
Наименьший ненулевой корень этого уравнения                       ≈ 1,68 . Отсюда
                                                               2
                                                                     EI
                                                       Fcr ≈ 16,93 2 .
                                                                     l
      Пример 6.4. Найти зависимость критической нагрузки от жесткости опоры c для
стойки, изображенной на рис.6.6,а.




                                                                   Б
                                                         Рис.6.6

      Решение. Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид
                                 EIv′′ = F ( f − v) − cf (l − z )
или
                                                       cf    cf               F
                               v′′ + k 2 v = k 2 f −      l+    z,     k2 =      .
                                                       EI    EI               EI
Решение этого уравнения ищем в виде
                                                   cf     cf
                               v = A sin kz + B cos kz + f −
                                                   2
                                                       l+ 2 ⋅z.
                                                  k EI   k EI
      Граничные условия, которым должно удовлетворять решение дифференциального
уравнения:
                              z=0        v = 0,
                              z=0        v′ = 0 ,
                              z=l        v= f .




                                                       118