Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

119
Используя эти условия, приходим к системе линейных однородных алгебраических
уравнений относительно
f
B
A
,, :
0)1(
2
=⋅−+ f
EIk
C
B
l
,
0
2
=⋅+ f
E
Ik
C
kA
.
0cossin
=
+
ll kBkA .
Условием существования ненулевых решений (т.е., нагрузок, при которых стержень
может быть изогнутым) является равенство нулю определителя этой системы
0 1
)1(
2
EIk
Сl
−
k
0
E
Ik
C
2
lksin lkcos
0
Раскрывая этот определитель, приходим к трансцендентному уравнению
относительно
l
k
, зависящему от жесткости опоры c
3
3
)(
l
lll
C
EI
kktgk −= .
На рис.6.7,а представлены графики правой и левой части полученного
трансцендентного уравнения. Пунктиром показаны графики правой части уравнения при
различных значениях жесткости опоры
c .
При
∞→c наименьший корень
49,4
≈
lk
и
2
2
)7,0( l⋅
=
EI
F
cr
π
,
при
0→c наименьший корень
2
π
=lk и
2
2
)2( l
EI
F
cr
π
= .
График зависимости безразмерного параметра критической нагрузки (
l
k
) от
безразмерной жесткости опоры
EI
c
c
2
l
= показан на рис.6.7,б.
Пример 6.5. Найти критическую нагрузку для плоской рамы, изображенной на
рис.6.8,а.
Решение. В зависимости от соотношения жесткостей и длин рама может потерять
Рис.6.7
б
=0. 
      Используя эти условия, приходим к системе линейных однородных алгебраических
уравнений относительно A, B, f :
                                            Cl
                                  B + (1 − 2 ) ⋅ f = 0 ,
                                           k EI
                                          C
                                  kA + 2 ⋅ f = 0 .
                                        k EI
                                  A sin kl + B cos kl = 0 .
      Условием существования ненулевых решений (т.е., нагрузок, при которых стержень
может быть изогнутым) является равенство нулю определителя этой системы
                                                        Сl
                        0          1             (1 − 2 )
                                                      k EI
                                                      C         =0.
                        k          0                  2
                                                    k EI
                      sin kl     cos kl                0
      Раскрывая этот определитель, приходим к трансцендентному            уравнению
относительно kl , зависящему от жесткости опоры c
                                                            EI
                                         tgkl = kl − (kl) 3 3 .
                                                            Cl
      На рис.6.7,а представлены графики правой и левой части             полученного
трансцендентного уравнения. Пунктиром показаны графики правой части уравнения при
различных значениях жесткости опоры c .
      При c → ∞ наименьший корень kl ≈ 4,49 и
                                                  π 2 EI
                                      Fcr =                    ,
                                                 (0,7 ⋅ l) 2
                                         π
      при c → 0 наименьший корень kl =       и
                                         2
                                                  π 2 EI
                                         Fcr =         .
                                                (2l) 2
       График зависимости безразмерного параметра критической нагрузки ( kl ) от
                                  cl 2
безразмерной жесткости опоры c =       показан на рис.6.7,б.
                                   EI
       Пример 6.5. Найти критическую нагрузку для плоской рамы, изображенной на
рис.6.8,а.
       Решение. В зависимости от соотношения жесткостей и длин рама может потерять




                                                                   б



                                             Рис.6.7




                                         119

Страницы