Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

121
0
2
=+
EIk
с
B
ϑ
010
2
=⋅+⋅+⋅
ϑ
EIk
c
BA ,
ϑ
ϑ
=
⋅⋅
−⋅
EIk
c
Ak
l
2
, или
0)1(0
2
=⋅
⋅⋅
+−⋅+⋅
ϑ
EIk
c
BAk
l
,
0cossin
=
+ ll kBkA . 00cossin =⋅
+
⋅
+
⋅
ϑ
BkAk ll .
Приравнивая нулю определитель системы, получим трансцендентное уравнение
+
=
)()(
)(
2
l
l
l
EI
kc
kc
tgkl
.
Учитывая величину
l
EI
c =
, получим окончательно
2
)(1 l
l
l
k
k
tgk
+
= .
Наименьший корень этого уравнения
4,3
≈
lk .
Рассмотрим антисимметричную форму потери устойчивости (рис.6.9,а). Найдем
жесткость упругой опоры при антисимметричной форме потери устойчивости. Расчетная
схема для нахождения жесткости
с соответствует антисимметричной форме изгиба
(рис.6.9,г).
EI
c
c
EI 33
2
2
11 l
l =
=
ϑ
.
Отсюда, полагая
1=
ϑ
, получим
l
EI
c
3
= .
Дифференциальное уравнение изогнутой стойки (рис.6.9,в)
v
F
v
I
E
⋅
′
′
⋅
⋅
.
Решение ищем в виде
kzBkzAv cossin
+
⋅
=
,
где
EI
F
k
cr
=
2
.
Рис.6.9
Использование граничных условий
0=z 0
=
v ,
l=z
fv
=
,
l=z
ϑ
=
′
v .
Г
Б
В
А 
            сϑ                                          c
      B+    2
                 =0                   0 ⋅ A + 1⋅ B + 2 ⋅ϑ = 0 ,
           k EI                                       k EI
                 cϑ                                             c
      k ⋅ A− 2           =ϑ,    или   k ⋅ A + 0 ⋅ B − (1 + 2          ) ⋅ϑ = 0 ,
              k ⋅ l ⋅ EI                                   k ⋅ l ⋅ EI
      A sin kl + B cos kl = 0 .                sin kl ⋅ A + cos kl ⋅ B + 0 ⋅ ϑ = 0 .
      Приравнивая нулю определитель системы, получим трансцендентное уравнение
                                                  c(kl)
                                    tgkl =                    .
                                                    2 EI 
                                           c + (kl) ( l )
                        EI
Учитывая величину c =      , получим окончательно
                        l
                                                     kl
                                        tgkl =              .
                                                 1 + (kl) 2
Наименьший корень этого уравнения kl ≈ 3,4 .
       Рассмотрим антисимметричную форму потери устойчивости (рис.6.9,а). Найдем
жесткость упругой опоры при антисимметричной форме потери устойчивости. Расчетная
схема для нахождения жесткости с соответствует антисимметричной форме изгиба
(рис.6.9,г).
                                            1  1  2  cl
                                      ϑ=         cl  =          .
                                           EI  2  3  3EI
       Отсюда, полагая ϑ = 1 , получим
                                                     3EI
                                                c=        .
                                                       l
Дифференциальное уравнение изогнутой стойки (рис.6.9,в)
                                         E ⋅ I ⋅ v ′′ = − F ⋅ v .
Решение ищем в виде
                                    v = A ⋅ sin kz + B cos kz ,
             Fcr
где   k2 =       .
             EI




                                  А
                                                     Б

                                                                В
                        Г



                                            Рис.6.9

Использование граничных условий
                               z=0            v = 0,
                               z=l            v= f ,
                               z=l            v′ = ϑ .



                                           121

Страницы