Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 123 стр.

                               А                         Б                         В

                                                   Рис.6.10

      Решение. Для выбора кривой, аппроксимирующей изогнутую ось стержня, запишем
граничные условия, наложенные на стержень условиями закрепления:
                           z=0               v = 0,              v′ = 0 ,
                           z=l               v′ = 0 , v′′′ = 0 .
      Последнее условие v ′′′ = 0 - это силовое условие. Оно следует из того, что верхняя
опора не препятствует поперечному перемещению и поэтому поперечная сила равна
                                           dM d
                                    Q=          = ( EIv′′) = EIv′′′ = 0 .
                                            dz dz
      Аппроксимируем изогнутую ось стержня (рис.6.10,в) в виде
                                                    πz
                                   v = A(1 − cos )
                                                     l
                                             π       πz
                                   v ′ = A( ) sin ,
                                             l        l
                                             π          πz
                                   v ′′ = A( ) 2 cos ,
                                              l          l
                                                π 3 πz
                                   v ′′′ = − A( ) sin .
                                                l          l
      Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что все граничные условия
выполняются.
      Критическую нагрузку найдем по формуле (6.9). Для этого вычислим интегралы,
входящие в эту формулу
                         1
                           l
                                              EI
                                                  l
                                                         π          πz    EI 2 π 4 l
                     U = ∫ EI (v ) dz =
                                 ′′  2
                                                  ∫ A 2 ( ) 4 cos 2 dz =    A ( ) ,
                         20                    2 0       l           l    2    l 2
                               l                         l


                                 (v′)2 dz = 1 A 2 ( π ) 2 ∫ sin 2 πz dz = 1 A 2 ( π ) 2 l .
                               2                         2
                             1
                        δ=
                             20∫            2       l 0            l      2       l 4
Таким образом,
                                                     U2π 2 EI
                                             Fcr =       =    .
                                               δ        l2
     Пример 6.7. Найти критическую нагрузку для стойки, изображенной на рис.6.11,а.
Решение. Запишем граничные условия
                               z = 0, v = 0,
                                   l
                               z = , v = 0,
                                   2
                               z = 0 , v′′ = 0 ,
                               z =l,             v′′ = 0 .
     Два последних условия – силовые ( EIv′′ = M ).



                                                  123