Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

125
−=
2
2
l
zzav ,
∫
==
′′
=
l
ll
0
2
2
2
2
2
24
2
)(
2
EIaa
EI
dzv
EI
U
∫∫
=
−=
′
=
ll
l
l
00
32
2
2
2
2
2
24
7
2
2
2
)(
2
1
adzz
a
dzv
δ
,
2
86,6
l
EIU
F
cr
==
δ
,
что отличается от точного значения на 25,3%.
Пример 6.8. Найти критическую нагрузку для рамы (рис.6.12,а) с постоянной
изгибной жесткостью
EI
.
Решение. Решим задачу энергетическим методом. Положим, что форма упругой
линии рамы при потере устойчивости будет приблизительно такой же, как и от действия
поперечной нагрузки
Q (пунктирные линии на рис.6.12,а,б). Критическую нагрузку
вычислим, используя формулы (6.5), (6.7),(6.8). Потенциальная энергия рамы при изгибе
силой
Q
∫∫ ∫ ∫
=
⋅+=+=
ll l l
l
0
2
00
2
0
32
1
2
1
2
1
22
222
1
)(
2
1
22 EI
Q
dzz
Q
EI
dzQz
EIEI
dzM
EI
dzM
U
xx
.
Угол поворота
v
′
произвольного сечения вертикальной стойки рамы с координатой z
найдем, используя правило Верещагина (рис.6.12,в,г)
)37(
62
)(1
3
2
2
2
11
22
z
EI
Q
Q
z
zQ
EI
v −=
+
−+
⋅=
′
l
l
lll .
Смещение точки приложения сжимающей силы
F определим по формуле (6.8)
Рис. 6.12
∫∫
=+−=
′
=
ll
l
ll
00
2
52
4224
2
2
2
)(
45
23
)94249(
)(72
)(
2
1
EI
Q
dzzz
EI
Q
dzv
δ
.
Тогда
2
52
)(
45
23
EI
Q
FFW
cr
l
==
δ
.
Критическую нагрузку находим по формуле (6.5)
2
978,0
l
EI
F
cr
= .
А
Г
В
Б 
                                                                 l
                                                   v = a2 z z −  ,
                                                                 2
                                               l
                                            EI                  EI 2
                                         U=
                                            2 0∫ (v ′′) 2 dz =
                                                                2
                                                                  4a 2 l = 2 EIa 22 l

                                           l                                2
                                                  a 22 
                                                                  l
                                1                               l      7 2 3
                                  ∫ δ=  ′       =      ∫  2 z −  dz =
                                           2
                                    ( v  )   dz                            a2 l ,
                                20                 2 0         2      24
                                                     U           EI
                                              Fcr = = 6,86 2 ,
                                                     δ           l
что отличается от точного значения на 25,3%.
       Пример 6.8. Найти критическую нагрузку для рамы (рис.6.12,а) с постоянной
изгибной жесткостью EI .
       Решение. Решим задачу энергетическим методом. Положим, что форма упругой
линии рамы при потере устойчивости будет приблизительно такой же, как и от действия
поперечной нагрузки Q (пунктирные линии на рис.6.12,а,б). Критическую нагрузку
вычислим, используя формулы (6.5), (6.7),(6.8). Потенциальная энергия рамы при изгибе
силой Q
             l         2l                                             2l        2
             M 2 dz   M 2 dz
                                            l
                               1                    1 Q                  Q 2l3
        U =∫ x +∫ x 1 =
                             2 EI ∫0              2 EI ∫0  2
                                     (Qz ) 2
                                             dz +            ⋅ z1  dz1 =       .
           0
             2 EI   0
                       2 EI                                               2 EI
      Угол поворота v ′ произвольного сечения вертикальной стойки рамы с координатой z
найдем, используя правило Верещагина (рис.6.12,в,г)
                          1  1        2            z+l     Q
                     v′ =     Ql ⋅ 2l  + 1(l − z )    Q  =   (7 l 2 − 3 z 2 ) .
                          EI  2       3            2   6 EI
      Смещение точки приложения сжимающей силы F определим по формуле (6.8)



                            А                                     Б




                                В                             Г




                                                             Рис. 6.12
                                l                  2     l
                            1                    Q                                              23 Q 2 l 5
                            2 ∫0               72( EI ) 2 ∫0
                       δ=        ( v ′) 2
                                          dz =               ( 49 l 4
                                                                      − 42 l 2 2
                                                                              z  + 9 z 4
                                                                                         ) dz =             .
                                                                                                45 ( EI ) 2
Тогда
                                                   23 Q 2 l 5
                                                 W = Fcr δ = F .
                                                   45 ( EI ) 2
        Критическую нагрузку находим по формуле (6.5)
                                               0,978EI
                                         Fcr =           .
                                                  l2


                                                             125

Страницы