Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 124 стр.

                            А                                Б




                                                            Рис.6.11

      Аппроксимируем изогнутую ось функцией в виде полинома:
                                   v = a0 + a1 z + a2 z 2 + a3 z 3 + a4 z 4 .
Степень полинома должна соответствовать числу граничных условий. В этом случае можно
выразить все постоянные, входящие в аппроксимирующую функцию v( z ) , через какую-
либо одну (т.е. аппроксимирующая функция задается с точностью до постоянного
множителя).
      Используем граничные условия:
             z = 0,      v = 0:             a0 = 0 .
             z = 0,      v′′ = 0 : a 2 = 0 .
                    l                      l       l3       l4
                 z=   , v = 0:           a1 + a3 + a4           = 0.
                    2                      2       8        16
                 z =l,         v′′ = 0 : 6a3 l + 12a4 l 2 = 0 .
                                                                           3
                                           a3 = −2la4 ,                a1 = l 3 a 4 .
                                                                           8
Тогда
                                                     3                       
                                              v = a4  l 3 z − 2lz 3 + z 4  ,
                                                     8                       
                                                  (                )
                                       v′′ = a4 − 12lz + 12 z = 12a4 z ( z − l ) ,
                                                                   2


что соответствует граничным условиям.
       Используем формулу (6.9) для определения критической нагрузки
                        l                    l
                     EI                  EI                                                  12
                U=      ∫     ′′       =     ∫ 144a 42 z 2 ( z 2 − 2lz + l 2 )dz = 72 EIa42 = a 42 EIl 5 ,
                                  2
                          ( v   )   dz
                     2 0                  2 0                                                 5
                                    l                 l                        2
                                1             1      3                    
                             δ = ∫ (v′) 2 dz = a42 ∫  l 3 − 6lz 2 + 4 z 3  dz = 0,438a42 l 7
                                20            2 08                        
                                                       EI
                                                          Fcr ≈ 5,48
                                                          .
                                                       l2
       Этот результат практически не отличается от точного.
       Решим эту же задачу, подчинив аппроксимирующую                                         функцию        только
геометрическим граничным условиям
                                        z=0              v = 0,
                                            l
                                        z=               v = 0,
                                            2
                                        v = a0 + a1 z + a2 z 2
или, учитывая граничные условия




                                                           124