Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

122
дает
0
=
B ,
lkAf sin
=
,
lkAk cos
=
ϑ
.
Кроме того, из условия равновесия
fFc
cr
⋅
=
ϑ
или fIEkc ⋅⋅
=
⋅
2
. Приравнивая
нулю определитель системы
001)(sin
=
⋅
+
⋅
−
ϑ
fAkl ,
010)cos(
=
⋅
−
⋅
+
ϑ
fAkk l ,
00
2
=⋅−⋅+⋅
ϑ
cfEIkA ,
получим
lk
tgkl
3
= , отсюда 2,1=lk .
Потеря устойчивости, очевидно, произойдет по антисимметричной форме.
Критическую нагрузку найдем из решения последнего трансцендентного уравнения
2,1
=
lk ,
2
44,1
l
EI
F
cr
= .
6.2. Энергетический метод определения критических нагрузок
Энергетический метод расчета критических нагрузок основан на теореме Лагранжа-
Дирихле, в соответствии с которой в критическом состоянии
WU
=
,
где
U
- потенциальная энергия деформации изгиба, связанного с потерей
устойчивости стержня;
W - работа внешних сжимающих сил.
dzvEIU
l
2
)(
2
1
∫
′′
=
,
δ
cr
FW
=
,
где
)(z
v
- функция прогиба стержня;
δ
- осевое перемещение точки приложения силы
cr
F
,
причем,
∫
′
=
l
dzv
2
)(
2
1
δ
.
Таким образом,
∫
∫
′
′′
=
l
l
dzv
dzvEI
F
cr
2
2
)(
2
1
)(
2
1
.
Например, для стержня, изображенного на рис.6.10,а
δ
cr
FW
=
.
Смещение точки приложения нагрузки в направлении этой нагрузки определяется как:
∫
′
=
0
0
2
)(
2
1
l
dzv
δ
.
Функцию прогибов
)(z
v
следует задавать так, чтобы обязательно удовлетворялись
все геометрические граничные условия (перемещения и углы поворота) и желательно
силовые граничные условия (изгибающие моменты и поперечные силы). Следует помнить,
что точность решения зависит от выбора аппроксимирующей функции
)(z
v
. Рассмотрим
использование энергетического метода.
Пример 6.6. Найти критическую нагрузку для стержня (рис.6.10,б), constEI = .
(6.5)
(6.6)
(6.8)
(6.9) 
дает
                                                       B=0 ,
                                                   f = A sin kl ,
                                                  ϑ = Ak cos kl .
      Кроме того, из условия равновесия cϑ = Fcr ⋅ f или c ⋅ ϑ = k E ⋅ I ⋅ f . Приравнивая
                                                                        2


нулю определитель системы
                          (sin kl) A − 1⋅ f + 0 ⋅ϑ = 0 ,
                          (k cos kl) A + 0 ⋅ f − 1 ⋅ ϑ = 0 ,
                          0 ⋅ A + k 2 EI ⋅ f − c ⋅ ϑ = 0 ,
              3
получим tgkl = , отсюда kl = 1,2 .
              kl
      Потеря устойчивости, очевидно, произойдет по антисимметричной форме.
Критическую нагрузку найдем из решения последнего трансцендентного уравнения
                                                              1,44 EI
                                       kl = 1,2 ,       Fcr =         .
                                                                  l2

                 6.2. Энергетический метод определения критических нагрузок

      Энергетический метод расчета критических нагрузок основан на теореме Лагранжа-
Дирихле, в соответствии с которой в критическом состоянии                     (6.5)
                                             U =W ,
      где U - потенциальная энергия деформации изгиба, связанного с потерей
устойчивости стержня; W - работа внешних сжимающих сил.
                                            1                                 (6.6)
                                        U = ∫ EI (v′′) 2 dz ,
                                            2l
                                             W = Fcr δ ,
где v( z ) - функция прогиба стержня;   δ - осевое перемещение точки приложения силы Fcr ,
причем,
                                                1
                                           δ=
                                                2l∫ (v′) 2 dz .                      (6.8)

Таким образом,
                                           1
                                            2 ∫  EI (v′′) 2 dz
                                      Fcr = l                  .
                                              1                                  (6.9)
                                                 ∫ (v ′) dz
                                                        2

                                              2l
Например, для стержня, изображенного на рис.6.10,а
                                           W = Fcr δ .
Смещение точки приложения нагрузки в направлении этой нагрузки определяется как:
                                               l
                                            1 0
                                        δ = ∫ (v′) 2 dz .
                                            20
      Функцию прогибов v( z ) следует задавать так, чтобы обязательно удовлетворялись
все геометрические граничные условия (перемещения и углы поворота) и желательно
силовые граничные условия (изгибающие моменты и поперечные силы). Следует помнить,
что точность решения зависит от выбора аппроксимирующей функции v( z ) . Рассмотрим
использование энергетического метода.
      Пример 6.6. Найти критическую нагрузку для стержня (рис.6.10,б), EI = const .



                                             122

Страницы