Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 117 стр.

                             kl
                       sin             0               0                     -1
                             2
                                                                       l2
                            0      l/2               1          − (k     2
                                                                          + 1)
                                                                       8       =0.
                               kl                                    k 2l
                       k ⋅ cos       -1              0
                               2                                      2
                            0         1              0              − k 2l
Это уравнение может быть решено графически, либо численно. Наименьший корень,
отличный от нуля
                                                kl / 2 ≈ 0,86 .
Отсюда критическая нагрузка
                                           π 2 EI        π 2 EI      π 2 EI
                                  Fcr =              =            =         ,
                                         π 
                                                   2
                                                       (1,826l) 2 ( µl) 2
                                               l
                                         1,72 
где µ = 1,826 .
       Пример 6.3. Найти критическую нагрузку для стержня, имеющего ступенчатую
жесткость (рис.6.5,а).




                                       А                             Б
                                                      Рис.6.5

      Решение. Составим дифференциальные уравнения изогнутой оси стержня каждого
участка (рис.6.5,б:
                                          Ff
                        3EIv1′′ = − Fv1 +      z, 0 ≤ z ≤ l/2.
                                           l
                                   Ffl
                        EIv′2′ = −     (l − z ) , l/2 ≤ z ≤ l .

      Общие решения этих уравнений
                                                     f
                     v1 = C1 sin kz + C 2 cos kz +     z,                    0 ≤ z ≤ l/2.
                                                     l
                               f (l − z ) 3                                                  F
                      v2 = −3k    2
                                            + C3 z + C 4 ,         l/2 ≤ z ≤ l . k2 =           .
                               l    6                                                       3EI
Граничные условия:
                                      z=0               v1 = 0 ,
                                      z = l/2           v1 = v2 = f ,        v1′ = v ′2 ,
                                      z=l               v2 = 0 .

      Используя граничные условия, получим систему однородных алгебраических
уравнений относительно постоянных интегрирования Ci и прогиба середины стержня f :
      0 ⋅ C1 + 1⋅ C 2 + 0 ⋅ f + 0 ⋅ C3 + 0 ⋅ C 4 = 0 ,
           kl             kl         1
      sin ⋅ C1 + cos ⋅ C 2 − f + 0 ⋅ C3 + 0 ⋅ C 4 = 0 ,
           2               2         2




                                                     117