Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

129
На участке 1 (
l20 ≤≤ z
) z
fF
vFRzvFvIE
cr
crcr
l3
2
111min
+−=+−=
′′
,
l3
2
1
2
1
z
fvv
αα
=+
′′
,
где
min
2
2EI
F
cr
=
α
.
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
f
l
z
zCzCv
3
cossin
211
++=
αα
.
На 2 участке )32(
ll ≤
≤
z
)3(
3
)3(
2min
z
fF
zRvEI
cr
−−=−=
′′
l
l
l
,
)3(
3
2
2
2
z
f
v −−=
′′
l
l
α
.
Интегрируя полученное уравнение, находим
3
2
2
2
)3(
3
Cz
f
v +−=
′
l
l
α
,
43
3
2
2
)3(
9
CzCz
f
v ++−−= l
α
.
Постоянные С1, С2, С3, С4 определяем из граничных условий:
1)
0
=
z , 0
1
=
v ;
2)
l2
=
z , fv
=
1
;
3)
l2
=
z ,
21
vv
′
=
′
;
4)
l2
=
z , fv
=
2
;
5)
l3
=
z , 0
2
=
v .
Подставляем в (а)
0=z и 0
1
=v , получаем 0
2
=
C .
Подставляем в (а)
l2=z
и fv =
1
, получаем
l
α
2sin3
1
f
C
= .
Значение
1
C подставляем в
l3
cos
11
f
zCv
+=
αα
и получаем
ll 3
cos
2sin3
1
f
z
f
v
+=
′
α
α
α
.
Граничное условие 5 дает
l
34
3CC −= , а из граничного условия 4 следует что
llll
3
22
43
2
2
9
1
2
9
CfCC
f
f
−−=++−=
α
α
,
+−=
l
f
lfC
α
9
1
3
.
Подставляем
3
C
в (б) и записываем граничное условие 3, приравнивая (г) и (б) при l2
=
z
l
l
l
l
l
f
f
ff
−=+
2
9
2
3
2cos
2sin3
αα
α
α
.
Отсюда,
12)(2
3
2
2
−
=
l
l
l
α
α
α
tg или
24)2(
)2(3
2
2
−
=
l
l
l
α
α
α
tg .
)(a
)(б
)(в
)(г
                                                                                       Fcr f
       На участке 1 ( 0 ≤ z ≤ 2l )       E 2 I min v1′′ = − Fcr v1 + Rz = − Fcr v1 +         z,
                                                                                        3l
                                                                            z
                                                  v1′′ + α 2 v1 = α 2 f       ,
                                                                           3l
где
                                                        Fcr
                                                      α2 =      .
                                                     2EI min
      Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
                                                                      z
                                  v1 = C1 sin αz + C 2 cos αz + f .                               (a)
                                                                     3l
                                                               Fcr f
      На 2 участке (2l ≤ z ≤ 3l) EI min v2′′ = − R(3lz ) = −         (3l − z ) ,
                                                                 3l
                                                     2f
                                         v2′′ = −α 2      (3l − z ) .
                                                      3l
Интегрируя полученное уравнение, находим
                                              α2 f                                                 (б )
                                         ′
                                       v2 =         (3l − z ) 2 + C3 ,
                                                3l
                                            α f
                                              2
                                                                                                   (в )
                                  v2 = −          (3l − z ) 3 + C3 z + C 4 .
                                              9
      Постоянные С1, С2, С3, С4 определяем из граничных условий:
                                 1) z = 0 ,                    v1 = 0 ;
                                 2) z = 2l ,                   v1 = f ;
                                 3) z = 2l ,                   v1′ = v′2 ;
                                   4) z = 2l ,                        v2 = f ;
                                   5) z = 3l ,                            v2 = 0 .
Подставляем в (а) z = 0 и v1 = 0 , получаем C 2 = 0 .
                                                                     f
Подставляем в (а) z = 2l и v1 = f , получаем C1 =                         .
                                                                3 sin 2αl
Значение C1 подставляем в
                                                                     f
                                             v1 = αC1 cosαz +
                                                                    3l
и получаем
                                                        αf f
                                              v1′ =          .  cos αz +                           (г )
                                           3 sin 2αl      3l
Граничное условие 5 дает C 4 = −3C3 l , а из граничного условия 4 следует что
                                         α2 f                   1
                                  f =−    l 2 + C3 2l + C 4 = − α 2 l 2 f − C3 l ,
                                       9                        9
                                                     1       f 
                                             C3 = − αlf +  .
                                                    9        l
Подставляем C 3 в (б) и записываем граничное условие 3, приравнивая (г) и (б) при z = 2l
                                       αf                f 2              f
                                              cos 2αl + = α 2 lf − .
                                   3 sin 2αl            3l 9             l
Отсюда,
                                         3αl                             3(2αl)
                           tg 2αl =                 или tg 2αl =                   .
                                    2(αl) − 12
                                           2
                                                                     (2αl) 2 − 24



                                                        129

Страницы