Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 144 стр.

      Безмоментная теория позволяет рассчитывать напряжения в тонкостенных оболочках
вращения при осесимметричной нагрузке, и основана на предположении о равномерном
распределении напряжений по        толщине оболочки. При этом стенки оболочки не
изгибаются, а только растягиваются или сжимаются в двух направлениях: меридиональном и
окружном.
      При нагружении оболочки осесимметричной нагрузкой изгиб происходит в зонах
оболочки, прилегающих к местам закрепления, резкой смены ее геометрии, в зонах
приложения сосредоточенных нагрузок. В этих областях напряжения меняются по толщине
стенок неравномерно и результаты расчета по безмоментной теории неприменимы.
      Окружные и меридиональные напряжения в оболочках рассчитывают с помощью
уравнения Лапласа:
                                             σt σm ρ
                                                 +    = ,                            (7.6)
                                             ρt ρm h
где σ t и σ m - окружные и меридиональные напряжения; ρ t и ρ m - окружной и
меридиональный радиус кривизны срединной поверхности оболочки; ρ – внутреннее
нормальное давление в оболочке; h - толщина оболочки.
        Поскольку в уравнение Лапласа входит две неизвестные, то для решения задачи о
нахождении напряжений составляется второе уравнение, представляющее собой условие
равновесия отсеченной части оболочки в проекции на ее ось (рис.7.6,а)
                                           σ m 2πrhSinϑ = F .
        При записи уравнения равновесия (7.7) полезно использовать следующие теоремы:
        Теорема 1. Равнодействующая давления, равномерно распределенного по отсеченной
поверхности оболочки, в направлении ее оси равна произведению давления на площадь
проекции этой поверхности на плоскость, перпендикулярную оси оболочки.
        Теорема 2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то
вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над
поверхностью.
        Поясним эти теоремы примерами. На рис.7.6,б,в показаны оболочки, нагруженные
равномерным давлением (газ) и изображены отсеченные части оболочки. Во всех случаях
равнодействующая сил давления в направлении оси равна F = ρπr 2 .
        На рис.7.6,г,д представлены сосуды, наполненные жидкостью. Определяем
вертикальную составляющую сил давления в сечении Z . Для этого отсекаем часть оболочки,
свободную от опор, нормальным сечением. В случае рис.7.6,г вертикальная составляющая
силы давления жидкости действует вниз и равна осевой равнодействующей F = γV , где V -
заштрихованный объем. В случае рис.7.6,д вертикальная составляющая объема, условно
заполненного жидкостью.
        Для сосуда рис.7.6,е в сечении Z , осевая равнодействующая силы давления жидкости
F = γ ⋅ V , V - заштрихованный объем.
        Для записи условия прочности необходимо применять один из критериев
пластичности. Величина допускаемых напряжений, как правило, занижается за счет
возможной коррозии и для придания оболочкам большей жесткости.
                             7.2.2. Примеры расчета оболочек вращения

       Пример 7.4. Определить коэффициент запаса по текучести n y для резервуара,
нагруженного газом, находящимся под давлением p = 5 ⋅ 10 5 Па (рис.7.7,б). Дано: R = 0 ,4 ;
ϑ = 45o ; h = 3 ,5 ⋅ 10 −3 м; σ y = 200 МПа.
      Решение. 1. Рассматриваем сферическое днище. Отсекаем коническим, нормальным
сечением часть сферической оболочки (рис.7.7,а). Уравнение равновесия



                                               144