Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

15
Тогда
∆+
−
−=
−
+
−
EA
R
EA
R
EA
RF lll )(
2
)()(
,
откуда
12
1
1045
4
102
11
102
4
1052
4
108
5
2
5
2
5
2
=
−
⋅⋅
−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−
−
⋅⋅=
∆
−=
l
EA
FR
kH.
Зная силу реакции
R
, находим внутренние силы и строим эпюру
N
(рис.1.5).
Используя полученные результаты (эпюру
N
), строим эпюру напряжений (рис.1.5). Эпюру
перемещений начинаем строить
c сечения a :
0
=
a
w .
Участок
ab
.0 l≤≤ z
EA
N
zw
ab
az
l
l
=∆=)( (линейная функция),
0)0(
=
a
w ,
68,0
4
102
11
102
1
104
4
108,6
)( =
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅⋅⋅
=
l
b
w
мм (вниз).
Отметим, что значения внутренних усилий при построении эпюры перемещений
считываем с эпюры
N
.
Участок
bc .0 l≤≤ z
A
E
ZN
A
Fl
wzw
bc
bzb
2
)(
+=∆+= l
(линейная функция),
68,0)0(
=
b
w мм,
62,0
4
102
11
1022
1
104)
4
102,1(
4
108,6)( =
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅⋅⋅−
+
−
⋅=
l
c
w
мм (вниз).
Участок
dc .0 l≤
≤
z Перемещение сечения z от нижнего сечения e найдем,
вычислив укорочение стержня длиной
ez
EA
ZN
zw
de
ez
−=∆−= l)( (линейная функция),
0)0(
=
e
w
,
12,0
4
102
11
102
1
104)
4
102,1(
)( =
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅⋅⋅−
−=
l
d
w
мм (вниз).
Построив эпюру перемещений (рис.1.5) убеждаемся в правильности решения задачи,
так как выполняется условие совместности перемещений, то есть разность перемещений
сечений
с и d равна зазору ∆ .
Пример 1.4. Ступенчатый стальной стержень, жестко закрепленный по концам,
нагрет на участке длиной
l
2
3
на
0
t∆ (рис.1.7,а). Определить допустимую температуру
нагрева стержня
adm
t∆ . Для этого значения температуры построить эпюры нормальных сил
N
, нормальных напряжений
σ
, осевых перемещений w . Дано: 3,0
=
l м;
4
102
−
⋅=A м2;
80
=
adm
σ
МПа.
Решение. При нагреве стержня в свободном состоянии на
0
t∆ он должен удлиниться
на
l
2
3
tl ∆=∆
α
. Однако этому удлинению препятствуют опоры, а поэтому между опорами и
стержнем возникают реактивные усилия
R
, сжимающие стержень (рис.1.7.б). Очевидно, это
усилие из уравнений статики найти невозможно, и поэтому данная задача статически 
Тогда
                              ( F − R )l       ( − R )l        ( − R )l
                                           +              =−              + ∆,
                                    EA          2 EA             EA
откуда
                                                               4            11       −4
                  2    2∆EA     2          −4       2 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10
           R= F−              = ⋅ 8 ⋅ 10 −                                               = 12 kH.
               5         5l      5                                           −1
                                                                5 ⋅ 4 ⋅ 10
      Зная силу реакции R , находим внутренние силы и строим эпюру N (рис.1.5).
Используя полученные результаты (эпюру N ), строим эпюру напряжений (рис.1.5). Эпюру
перемещений начинаем строить c сечения a :
                                                        wa = 0 .
                                                  N l
      Участок ab 0 ≤ z ≤ l. w( z ) = ∆l az = ab (линейная функция),
                                                    EA
                                                     wa (0) = 0 ,
                                         6,8 ⋅ 10 4 ⋅ 4 ⋅ 10 −1
                              w (l ) =                           = 0,68 мм (вниз).
                                          2 ⋅ 1011 ⋅ 2 ⋅ 10 −4
                                 b
      Отметим, что значения внутренних усилий при построении эпюры перемещений
считываем с эпюры N .
                                                          Fl N bc Z
      Участок bc 0 ≤ z ≤ l. w( z ) = wb + ∆l bz =             +            (линейная функция),
                                                          EA E 2 A
                                                wb (0) = 0,68 мм,
                                                (−1,2 ⋅ 10 4 ) ⋅ 4 ⋅ 10 −1
                       wc (l) = 6,8 ⋅ 10 −4 +                                = 0,62 мм (вниз).
                                                           11
                                                 2 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10   − 4
      Участок dc 0 ≤ z ≤ l. Перемещение сечения z от нижнего сечения e найдем,
вычислив укорочение стержня длиной ez
                                                     N Z
                              w( z ) = − ∆l ez = − de (линейная функция),
                                                      EA
                                                     we (0) = 0 ,
                                         (−1,2 ⋅ 10 4 ) ⋅ 4 ⋅ 10 −1
                            w (l ) = −                                = 0,12 мм (вниз).
                                           2 ⋅ 1011 ⋅ 2 ⋅ 10 −4
                              d
      Построив эпюру перемещений (рис.1.5) убеждаемся в правильности решения задачи,
так как выполняется условие совместности перемещений, то есть разность перемещений
сечений с и d равна зазору ∆ .
      Пример 1.4. Ступенчатый стальной стержень, жестко закрепленный по концам,
                               3
нагрет на участке длиной l на ∆t 0 (рис.1.7,а). Определить допустимую температуру
                               2
нагрева стержня ∆t adm . Для этого значения температуры построить эпюры нормальных сил
N , нормальных напряжений σ , осевых перемещений w . Дано: l = 0,3 м; A = 2 ⋅10 −4 м2;
σ adm = 80 МПа.
       Решение. При нагреве стержня в свободном состоянии на ∆t 0 он должен удлиниться
           3
на ∆l = α∆t l . Однако этому удлинению препятствуют опоры, а поэтому между опорами и
           2
стержнем возникают реактивные усилия R , сжимающие стержень (рис.1.7.б). Очевидно, это
усилие из уравнений статики найти невозможно, и поэтому данная задача статически



                                                   15

Страницы