Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

17
80102651025,1
2
1
2
1
115
−=⋅⋅⋅⋅⋅−=∆−=
−
Et
A
N
adm
ασ
МПа (рис.1.7).
Последний результат свидетельствует о том, что допустимая температура найдена верно, так
как получилось
adm
σ
σ
=
max
.
Эпюру перемещений строим, начиная с сечения
a : 0
=
a
w .
1 участок
.0 l≤≤ z
EA
ZN
zw
2
)(
1
= (линейная функция),
0)0(
=
a
w ,
06,03,0641025,1
2
1
4
1
)(
5
−=⋅⋅⋅⋅−=∆−=
−
ll
admb
tw
α
мм (влево).
2 участок
.
2
3
0 l≤≤ z
ztwzw
admb
∆
+
=
α
)( (линейная функция),
06,0)0(
−
=
b
w мм,
12,03,0641025,1
2
1
2
1
2
3
2
3
4
1
)
2
3
(
5
=⋅⋅⋅⋅=∆=−+∆+∆−=
−
l
l
lll
admadmadmc
t
EA
R
ttw
ααα
мм (вправо).
3 участок
.0 l
≤
≤ z
EA
ZN
wzw
c
3
)( +=
(линейная функция),
12,0)0(
=
b
w мм, 0
2
1
)( =−∆=
EA
R
tw
admd
l
ll
α
.
Эпюра перемещений представлена на рис.1.7.
Пример 1.5. Для стальной стержневой конструкции (рис.1.8,а), нагруженной силой
F и нагретой на участке ab до температуры
0
t
∆
, определить коэффициент запаса по
текучести
ny . Дано:
4
102
−
⋅=A м2; Ct
0
150=∆ ; 100
=
F кН; 400
=
=
ycyt
σ
σ
МПа.
Решение. Предположим, что деформации упругие, и для решения задачи используем
принцип наложения (суперпозиции), в соответствии с которым найдем напряжения
отдельно от силы
F и отдельно от нагрева участка ab на
0
t
∆
. Принцип наложения в
данной задаче можно использовать, поскольку в пределах упругости напряжения и
перемещения линейно зависят и от внешней силы F и от температуры
0
t
∆ .
1. Вначале найдем внутренние силы в стержневой конструкции отдельно от силы
F .
Пронумеруем стержни так, как показано на рис.1.8,а.
Рис.1.8
Мысленно разрезая стержни, вводим неизвестные внутренние нормальные силы,
вызванные внешней силой
F (рис.1.8,б,в). Сумма проекций сил на ось
, приложенных к
узлу (рис.1.8.б), дает
ff
NN
21
= . Сумма проекций сил на ось
Z
, для обеих частей
конструкции, дает систему уравнений:
ff
NN
21
=
; 0
34
=
−
−
ff
NFN .
а
б
в 
                 N 1               1
              σ=    − α∆t adm E = − ⋅ 1,25 ⋅ 10 −5 ⋅ 65 ⋅ 2 ⋅ 1011 = −80 МПа (рис.1.7).
                 A 2               2
Последний результат свидетельствует о том, что допустимая температура найдена верно, так
как получилось σ max = σ adm .
Эпюру перемещений строим, начиная с сечения a : wa = 0 .
                                   NZ
     1 участок 0 ≤ z ≤ l. w( z ) = 1 (линейная функция),
                                  2 EA
                                          wa (0) = 0 ,
                         1             1
               wb (l) = − α∆t adm l = − ⋅1,25 ⋅10 −5 ⋅ 64 ⋅ 0,3 = −0,06 мм (влево).
                         4             2
                           3
       2 участок 0 ≤ z ≤     l. w( z ) = wb + α∆t adm z (линейная функция),
                           2
                                             wb (0) = −0,06 мм,
                                           3
                                         R l
        3      1           3                     1           1
    wc ( l) = − α∆t adm l + α∆t adm l + − 2 = α∆t adm l = ⋅1,25 ⋅10 −5 ⋅ 64 ⋅ 0,3 = 0,12 мм (вправо).
        2      4           2              EA 2               2
                                           N Z
       3 участок 0 ≤ z ≤ l. w( z ) = wc + 3 (линейная функция),
                                            EA
                                                          1           Rl
                             wb (0) = 0,12 мм, wd (l) = t α∆ adm l −     =0.
                                                          2           EA
Эпюра перемещений представлена на рис.1.7.
       Пример 1.5. Для стальной стержневой конструкции (рис.1.8,а), нагруженной силой
F и нагретой на участке ab до температуры ∆t 0 , определить коэффициент запаса по
текучести ny . Дано: A = 2 ⋅10 −4 м2; ∆t = 150 0 C ; F = 100 кН; σ yt = σ yc = 400 МПа.
      Решение. Предположим, что деформации упругие, и для решения задачи используем
принцип наложения (суперпозиции), в соответствии с которым найдем напряжения
отдельно от силы F и отдельно от нагрева участка ab на ∆t . Принцип наложения в
                                                              0

данной задаче можно использовать, поскольку в пределах упругости напряжения и
перемещения линейно зависят и от внешней силы F и от температуры ∆t .
                                                                   0


      1. Вначале найдем внутренние силы в стержневой конструкции отдельно от силы F .
Пронумеруем стержни так, как показано на рис.1.8,а.




                                                        б                 в
                                   а

                                                  Рис.1.8

      Мысленно разрезая стержни, вводим неизвестные внутренние нормальные силы,
вызванные внешней силой F (рис.1.8,б,в). Сумма проекций сил на ось Y , приложенных к
узлу (рис.1.8.б), дает N 1 f = N 2 f . Сумма проекций сил на ось Z , для обеих частей
конструкции, дает систему уравнений:
                                 N1 f = N 2 f ; N 4 f − F − N 3 f = 0 .



                                                 17

Страницы