Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 18 стр.

      Таким образом, мы имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными, то есть
задача статически неопределима. Для решения составим уравнение совместности
перемещений. Перемещения, направленные вдоль оси Z , считаем положительными.
Представив систему в деформированном состоянии (рис.1.9), получим треугольник aa1 b ,
откуда
                                         ∆l 1 = wa cos 60 0
или
                                ∆l 1 = −(∆ 3 + ∆ 4 ) cos 60 0 ,                (б)
где ∆l1 - удлинение стержня 1; wa - перемещение шарнира. Знак минус в правой части
условия совместности перемещений (б) объясняется тем, что положительное перемещение
шарнира происходит за счет суммарного сжатия третьего и четвертого стержней. Выразим
удлинения стержней через внутренние силы
                                     N1 f l             N3 f l N 4 f l
                              ∆l 1 =        ; ∆3 + ∆4 =        +       .
                                     EA                 2 EA 2 EA
      Откуда, используя уравнение совместности перемещений (б), получим третье
уравнение для определения внутренних сил N 1 f , N 2 f , N 3 f
                                    N1 f l        N3 f l
                                                      N4 f l 1
                                             =(            +)⋅ .                 (в)
                                       EA       2 EA 2 EA 2
Решая совместно систему уравнений (а) и (в), получим
                                                    F
                           N1 f = N 2 f = N 3 f = − = −16,7 кН,
                                                    6
                                          5
                                  N 4 f = ⋅ F = 83,3 кН.
                                          6
      Знак минус в решении указывает на то, что внутренние силы в 1,2-м и 3-м стержнях
сжимающие.
          2. Найдем внутренние усилия, возникающие в стержневой системе от нагрева.




                                             Рис.1.9

       Для записи уравнений равновесия воспользуемся рис.1.8, учитывая, что сила F
отсутствует
                                       N1t = N 2t = N 3t = N 4t .
       Геометрическое уравнение совместности перемещений (б) сохраняет свою силу,
однако, удлинения стержней выражаются не только через внутренние силы, но и через
температуру
                                N l                         N l N l
                          ∆l 1 = 1t ; ∆ 3 + ∆ 4 = α∆tl + 3t + 4t .
                                 EA                         2 EA 2 EA
Тогда из уравнения (б) получим
                                N1t l              N l N l 1
                                      = −(α∆tl + 3t + 4t ) ,
                                EA                2 EA 2 EA 2
откуда




                                               18