Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

171
отсюда
6
1043,4
2
2
21
2
3
0
−
⋅=⋅
+
+∆=∆
rr
E
ρω
ν
ω
6
1005,5
2
11
102
2
1,0014,0
2
262
3
108,73,3
−
⋅=
⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
+ м.
Проверка прочности диска по теории текучести Треска-Сен-Венана. При определении
напряжений воспользуемся принципом суперпозиции
,
,
,
+=
+=
tktd
t
rkrd
r
σσσ
σσσ
где
σ
d и
σ
k – инерционные и контактные напряжения.
Инерционные напряжения в точках диска определяются по формулам (8.4), (8.5).
При r=r1
σ
rd = 0,
()()
[]
=−++=
2
1
1
2
2
3
4
2
rr
td
νν
ρω
σ
(
)
44,4
2
014,07,0
2
1,03,3
4
2
262
3
108,7
=⋅+⋅
⋅⋅
= Мпа.
При r=r2,
σ
rd=0,
()()
[]
=−++=
2
1
1
2
2
3
4
2
rr
td
νν
ρω
σ
(
)
02,1
2
1,07,0
2
014,03,3
4
2
262
3
108,7
=⋅+⋅
⋅⋅
= Мпа.
Контактные напряжения в диске определяются по формуле
(
)
,
2
1
2
1
2
2
2
2
2
121
2
1
2
2
2
22
2
11
rrr
rrpp
rr
rprp
rk
tk
⋅
−
−
−
−
=
m
σ
где p1 и p2 – внутреннее и внешнее давления. Здесь
p1 = pk
ω
= padm; p2 = 0,
тогда
.
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
−
=
r
r
rr
r
adm
p
rk
tk
m
σ
В опасных точках:
при r=r1
σ
rk = -padm = -15,5 МПа,
(
)
12,16
2
014,0
2
1,0
2
1,0
2
014,0
6
105,15
2
1
2
2
2
2
2
1
=
−
+⋅
=
−
+
=
rr
rr
adm
p
tk
σ
МПа.
при r=r2
σ
rk=0
62,0
2
014,0
2
1,0
2
014,0
6
105,152
2
1
2
2
2
1
2
=
−
⋅⋅⋅
=
−
=
rr
r
adm
p
tk
σ
МПа.
Окончательно складывая инерционные и контактные напряжения, получим в точках
диска у его внутренней и внешней поверхностей:
при r=r1
σ
r =
σ
rd+
σ
rk = - 15,5 МПа;
σ
t =
σ
td+
σ
tk = 4,44+16,12 = 20,56 МПа.
при r=r2
σ
r=
σ
rd+
σ
rk=0 – 15,5 = = 15,5 Мпа;
σ
t=
σ
td+
σ
tk=1,02 + 0,62 = 1,64 Мпа. 
      отсюда
                               2 2
                  3 + ν ρω r1r2                           3,3 ⋅ 7,8 ⋅ 10 3 ⋅ 262 2 ⋅ 0,014 ⋅ 0,12
       ∆ 0 = ∆ω +        ⋅              = 4,43 ⋅ 10 −6 +                                          = 5,05 ⋅ 10 −6 м.
                    E           2                                              11
                                                                         2 ⋅ 10 ⋅ 2
     Проверка прочности диска по теории текучести Треска-Сен-Венана. При определении
напряжений воспользуемся принципом суперпозиции
                                                σ r = σ rd + σ rk ,
                                                                        ,
                                                 σ t = σ td + σ tk , 
                                                                       
     где σd и σk – инерционные и контактные напряжения.
Инерционные напряжения в точках диска определяются по формулам (8.4), (8.5).
     При r=r1
                                                    σrd = 0,

    σ td =
            ρω 2
              4
                    [                      ]            3
                                                        4
                                                                 2
                                                                    (                         )
                 (3 + ν )r22 + (1 − ν )r12 = = 7,8 ⋅ 10 ⋅ 262 3,3 ⋅ 0,12 + 0,7 ⋅ 0,014 2 = 4,44 Мпа.
     При r=r2,
                                                    σrd=0,

    σ td =
            ρω 2
              4
                    [                       ]           3
                                                         4
                                                                  2
                                                                    (                         )
                 (3 + ν )r22 + (1 − ν )r12 = = 7,8 ⋅ 10 ⋅ 262 3,3 ⋅ 0,014 2 + 0,7 ⋅ 0,12 = 1,02 Мпа.
Контактные напряжения в диске определяются по формуле

                                   rk
                                 σ tk =
                                          p1r12 − p 2 r22
                                                           m
                                                              (         )
                                                               p1 − p 2 r12 r22 1
                                                                                  ⋅     ,
                                             r22 − r12             r22 − r12        r2
где p1 и p2 – внутреннее и внешнее давления. Здесь
                                      p1 = pkω = padm; p2 = 0,
тогда

                                         rk   p      r12  r 2 
                                       σ tk =   adm             2
                                                2     2   1 m 2 .
                                              r2 − r1  r 
В опасных точках:
при r=r1
                                      σrk = -padm = -15,5 МПа,

                    σ tk = p adm           =
                                                               (
                                 r12 + r22 15,5 ⋅ 10 6 0,014 2 + 0,12           )
                                                                      = 16,12 МПа.
                                 r22 − r12        0,12 − 0,014 2
при r=r2
                                                         σrk=0
                                      2p    r12 2 ⋅ 15,5 ⋅ 10 6 ⋅ 0,014 2
                             σ tk =   adm      =                          = 0,62 МПа.
                                    r22 − r12        0,12 − 0,014 2
      Окончательно складывая инерционные и контактные напряжения, получим в точках
диска у его внутренней и внешней поверхностей:
при r=r1
                                  σr = σrd+σrk = - 15,5 МПа;
                            σt = σtd+σtk = 4,44+16,12 = 20,56 МПа.
при r=r2
                              σr=σrd+σrk=0 – 15,5 = = 15,5 Мпа;
                              σt=σtd+σtk=1,02 + 0,62 = 1,64 Мпа.



                                                       171

Страницы